System Of Equation

Bài toán (Chọn đội tuyển VMO THPT Chuyên Sư Phạm, ĐHQG Hà Nội 2011-2012)

Giải hệ phương trình :

$$\{\begin{array}{c}{x}^2+\sqrt[3]{y^2+1}=\sqrt{y^2+9}+5\\ y^2+\sqrt[3]{z^2+1}=\sqrt{z^2+9}+5\\ z^2+\sqrt[3]{x^2+1}=\sqrt{x^2+9}+5\end{array}$$

Lời giải :

Xét hàm số $f(t)=\sqrt{t+9}+5-\sqrt[3]{t+1}+t$ trên $\left[0,+\infty \right)$. Ta có :

$$f^{\prime }(t)=\frac{1}{2\sqrt{t+9}}-\frac{2}{3\sqrt[3]{(t+1{)}^2}}+1$$

Do $t\ge 0$ nên $\frac{2}{3\sqrt[3]{(t+1{)}^2}}<\frac{2}{3}<1$, từ đó thấy $f^{\prime }(t)>0$. Do đó $f$ đồng biến.

Ta viết hệ đã cho thành :

$$\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=f(y^2)\\ y^2+z^2=f(z^2)\\ z^2+x^2=f(x^2)\end{array}$$

Gỉa sử $x^2=max\left\{x^2,y^2,z^2\right\}$ :

$x^2$$\ge y^2$$\Rightarrow x^2+z^2$$\ge y^2+z^2$$\Rightarrow f(x^2)$$\ge f(z^2)$$\Rightarrow x^2$$\ge z^2$$\Rightarrow x^2+y^2$$\ge z^2+y^2$$\Rightarrow f(y^2)$$\ge f(z^2)$$\Rightarrow y^2$$\ge z^2$$\Rightarrow x^2+y^2$$\ge z^2+x^2$$\Rightarrow f(y^2)$$\ge f(x^2)$$\Rightarrow y^2$$\ge x^2$

Ta được $x^2=y^2$ Tương tự ta được $x^2=y^2=z^2$. Dẫn đến phương trình :

$$t+\sqrt[3]{t+1}-\sqrt{t+9}=5$$

Chú ý hàm $g(t)=t+\sqrt[3]{t+1}-\sqrt{t+9}$ có $g^{\prime }(t)=1+\frac{1}{3\sqrt[3]{(t+1{)}^2}}-\frac{1}{2\sqrt{t+9}}>0$ nên $g$ đồng biến, hơn nữa $g(7)=5$ nên $t=7$ là nghiệm duy nhất của phương trình. 

Ta kết luận nghiệm của hệ ban đầu là :

$$\left(x,y,z\right)=\left(\pm \sqrt{7},\pm \sqrt{7},\pm \sqrt{7}\right)$$ (có tất cả $$8$$ nghiệm)