Functional Equation

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(xy)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+f(x+y),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Xét $f$ hằng thì được $f\equiv 0,2$. Ta xét $f$ không hằng.

Trong $(1)$ chọn $y=1$ ta được :

$2f(x)+f(1)$$=f(x)f(1)+f(x+1),\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(x+1)$$=f(x)(2-f(1))+f(1),\forall x\in \mathbb{R}(2)$

Trong $(2)$ thay $x$ bởi $x+1$ :

$f(x+2)$$=f(x+1)(2-f(1))+f(1)$$=\left[f(x).(2-f(1))+f(1)\right].(2-f(1))+f(1)$$=(2-f(1){)}^2.f(x)+3f(1)-f^2(1),\forall x\in \mathbb{R}$

Trong $(1)$ chọn $y=2$ :

$f(2x)+f(x)+f(2)$$=f(x)f(2)+f(x+2),\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(x+2)$$=f(2x)+f(2)-f(x)(1-f(2)),\forall x\in \mathbb{R}$

Từ đó ta được :

$$f(2x)+f(2)-f(x)(1-f(2))=(2-f(1){)}^2.f(x)+3f(1)-f^2(1),\forall x\in \mathbb{R}$$

Hơn nữa trong $(1)$ cho $x=y=1$ :

$$3f(1)=f^2(1)+f(2)\iff f(2)=3f(1)-f^2(1)$$

Từ đó :

$$f(2x)-f(x)(1-f(2))=(2-f(1){)}^2.f(x)\iff f(2x)=kf(x),\forall x\in \mathbb{R}(3)$$

Trong đó $k=3-f(1)$.Nếu $k=0$ thì $f$ đồng nhất $0$, không thuộc trường hợp đang xét. Do đó $k$ phải là một hằng số khác $0$.

Từ $(3)$ ta được :

$$f(4x)=kf(2x)=k^{2}f(x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $2x$, $y$ bởi $2y$ :

$f(2(x+y))+f(2x)f(2y)$$=f(2x)+f(2y)+f(4xy),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff f(x+y)+kf(x)f(y)$$=f(x)+f(y)+kf(xy),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff f(x)+f(y)-f(x+y)$$=k\left[f(x)f(y)-f(xy)\right],\forall x,y\in \mathbb{R}$

Hơn nữa từ $(1)$ ta còn có :

$$f(x)f(y)-f(xy)=f(x)+f(y)-f(x+y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Do đó :

$$f(x)+f(y)-f(x+y)=k\left[f(x)+f(y)-f(x+y)\right],\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Nếu $k=1$ thì $f(1)=2$.

Trong $(1)$ chọn $y=1$ :

$2f(x)+f(1)$$=f(1)f(x)+f(x+1),\forall x\in \mathbb{R}$$\iff f(x+1)$$=2,\forall x\in \mathbb{R}$

Không thuộc trường hợp đang xét, do đó $k\ne 1$. Từ đó suy ra :

$$f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Lại kết hợp với $(1)$ được :

$$f(xy)=f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Như vậy $f(x)=x,\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Tất cả các hàm cần tìm là :

$$f(x)\equiv x,f(x)\equiv 0,f(x)\equiv 2$$