Bài toán (Tổng quát Vietnamese Team Selection Test 2012) Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và xét dãy số $(x_n)$ thỏa $x_1=1,x_2=p$ và : \[x_{n+2}=2px_{n+1}-x_n\] Chứng minh rằng $\dfrac{x_{2m}+1}{p+1}$ là một số chính phương với mọi số nguyên dương $m$. Lời giải : Xét các đa thức Chebyshev loại I và loại II : \[T_0(x)=1,T_1(x)=x,T_{n+2}=2xU_{n+1}(x)-U_n(x)\] \[U_0(x)=1,U_1(x)=2x,U_{n+2}=2xU_{n+1}(x)-U_n(x)\] Ta có một đẳng thức quen thuộc liên hệ giữa hai đa thức này dưới dạng kiểu phương trình Pell : \[T_n^2(x)-(x^2-1)U^2_{n-1}(x)=1\Leftrightarrow \dfrac{T_n(x)-1}{x-1}.\dfrac{T_n(x)+1}{x+1}=U^2_{n-1}(x)\] Ta sẽ chứng minh : \[\dfrac{T_n(x)-1}{x-1}\in \mathbb{Z},\;\forall n\in \mathbb{N}^*\] và \[\dfrac{T_n(x)+1}{x+1}\in \mathbb{Z},\;\forall n\in \mathbb{N},n\equiv 1\;\pmod 2\] Thực vậy, ta có tính chất quen thuộc sau của đa thức Chebyshev loại I là : \[T_n(1)=1,\;\forall n\in \mathbb{N}^*\] Điều này đồng nghĩa với việc đa thức $T_n(x)-1$ nhận $x=1$ làm nghiệm, hay nhận $x-1$ làm nhân tử, tức $\dfrac{T_n(x)-1}{x-1}\in \mathbb{Z}$ Ta cũng có : \[T_n(-1)=(-1)^n,\;\forall n\in \mathbb{N}^*\] Do đó nếu $n$ lẻ thì $T_n(-1)=-1$. Điều này cho thấy đa thức $T_n(-1)+1$ nhận $x=-1$ làm nghiệm, hay nhận $x+1$ làm nhân tử, tức $\dfrac{T_n(x)+1}{x+1}\in \mathbb{Z},\;\forall n\in \mathbb{N},n\equiv 1\;\pmod 2$ Dễ dàng nhận thấy rằng $x_{n+1}=T_n(p)$ với mọi số tự nhiên $n$. Ở đây, ta chỉ xét $n$ lẻ : \[\dfrac{T_n(p)-1}{p-1}.\dfrac{T_n(p)+1}{p+1}=U_{n-1}^2(p)\;\;\;(*)\] Gọi : \[d=\gcd\left ( \dfrac{T_n(p)-1}{p-1},\dfrac{T_n(p)+1}{p+1} \right )\Rightarrow d\mid 2\] Từ đó suy ra $U_{n-1}(p)$ là một số chẵn, nhưng điều này vô lí vì với $n$ lẻ thì $n-1$ chẵn và mọi đa thức Chebyshev loại II có bậc chẵn đều là số lẻ nếu biến số là số nguyên. Như vậy phải có $d=1$. Từ $(*)$ ta suy ra ngay $\dfrac{T_n(p)+1}{p+1}=\dfrac{x_{n+1}+1}{p+1}$ là một số chính phương với mọi số nguyên dương $n$ lẻ. Tức là $\dfrac{x_{2m}+1}{p+1}$ chính phương với mọi số nguyên dương $m$. Bài toán hoàn tất. Một số tính chất của đa thức Chebyshev loại I và II có thể xem tại đây.

Arithmetic Sequence

Bài toán (Tổng quát Vietnamese Team Selection Test 2012)

Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và xét dãy số $(x_{n})$ thỏa $x_{1} = 1, x_{2} = p$ và :

$x_{n + 2} = 2 p x_{n + 1} - x_{n}$

Chứng minh rằng $\frac{x _{2 m} + 1}{p + 1}$ là một số chính phương với mọi số nguyên dương $m$ .

Lời giải :

Xét các đa thức Chebyshev loại I và loại II :

$T_{0} (x) = 1, T_{1} (x) = x, T_{n + 2} = 2 x U_{n + 1} (x) - U_{n} (x)$

$U_{0} (x) = 1, U_{1} (x) = 2 x, U_{n + 2} = 2 x U_{n + 1} (x) - U_{n} (x)$

Ta có một đẳng thức quen thuộc liên hệ giữa hai đa thức này dưới dạng kiểu phương trình Pell :

$T_{n}^{2} (x) - (x^{2} - 1) U_{n - 1}^{2} (x) = 1 \Leftrightarrow \frac{T _{n} ( x ) - 1}{x - 1} . \frac{T _{n} ( x ) + 1}{x + 1} = U_{n - 1}^{2} (x)$

Ta sẽ chứng minh :

$\frac{T _{n} ( x ) - 1}{x - 1} \in Z, \forall n \in N^{*}$ và $\frac{T _{n} ( x ) + 1}{x + 1} \in Z, \forall n \in N, n \equiv 1 (mod 2)$

Thực vậy, ta có tính chất quen thuộc sau của đa thức Chebyshev loại I là :

$T_{n} (1) = 1, \forall n \in N^{*}$

Điều này đồng nghĩa với việc đa thức $T_{n} (x) - 1$ nhận $x = 1$ làm nghiệm, hay nhận $x - 1$ làm nhân tử, tức $\frac{T _{n} ( x ) - 1}{x - 1} \in Z$

Ta cũng có :

$T_{n} (- 1) = (- 1)^{n}, \forall n \in N^{*}$

Do đó nếu $n$ lẻ thì $T_{n} (- 1) = - 1$ . Điều này cho thấy đa thức $T_{n} (- 1) + 1$ nhận $x = - 1$ làm nghiệm, hay nhận $x + 1$ làm nhân tử, tức $\frac{T _{n} ( x ) + 1}{x + 1} \in Z, \forall n \in N, n \equiv 1 (mod 2)$

Dễ dàng nhận thấy rằng $x_{n + 1} = T_{n} (p)$ với mọi số tự nhiên $n$ .

Ở đây, ta chỉ xét $n$ lẻ :

$\frac{T _{n} ( p ) - 1}{p - 1} . \frac{T _{n} ( p ) + 1}{p + 1} = U_{n - 1}^{2} (p) (*)$

Gọi :

$d = g cd (\frac{T _{n} ( p ) - 1}{p - 1}, \frac{T _{n} ( p ) + 1}{p + 1}) \Rightarrow d ∣ 2$

Từ đó suy ra $U_{n - 1} (p)$ là một số chẵn, nhưng điều này vô lí vì với $n$ lẻ thì $n - 1$ chẵn và mọi đa thức Chebyshev loại II có bậc chẵn đều là số lẻ nếu biến số là số nguyên.

Như vậy phải có $d = 1$ . Từ $(*)$ ta suy ra ngay $\frac{T _{n} ( p ) + 1}{p + 1} = \frac{x _{n + 1} + 1}{p + 1}$ là một số chính phương với mọi số nguyên dương $n$ lẻ. Tức là $\frac{x _{2 m} + 1}{p + 1}$ chính phương với mọi số nguyên dương $m$ .

Bài toán hoàn tất.

Một số tính chất của đa thức Chebyshev loại I và II có thể xem tại đây.

Arithmetic Sequence

Đề bài

Mô tả