Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Phân giác $BAC$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A$. $M,N$ là trung điểm của $AB,AC$. Trung trực của $CA,AB$ cắt các đường tròn $(AMD),(AND)$ theo thứ tự tại $E,F$ sao cho $E,B$ cùng phía với $AC$ và $F,C$ cùng phía với $AB$. Gọi giao của $EF$ và $MN$ là $P$. Chứng minh $PA=PD$.

Lời giải :

Trước hết ta chứng minh $AMED$ là hình thang cân.  Gọi $E^{\prime }$ là giao điểm của $(AMD)$ với đường thẳng qua $M$ song song $AD$. Ta chứng minh $E$ trùng $E^{\prime }$.

Gọi $X$ là giao của $AC$ và $(AMD)$. Dễ thấy $DM=DX$ ($AD$ là phân giác góc $MAX$) và $BD=CD$.

Hơn nữa vì $\angle MDX=\angle BDC(=180^0-\angle A)$ nên $\angle BDM=\angle BDC-\angle MDC=\angle MDX-\angle MDC=\angle CDX$. Từ đó có ngay hai tam giác $CDX$ và $BDM$ bằng nhau.

Kéo theo $CX=BM=AM$ mà $AM=E^{\prime }D$ ($AM{E}^{\prime }D$ là hình thang cân) nên $E^{\prime }D=CX$.

Lại có $\angle E^{\prime }DA=\angle MAD=\angle DAC\Rightarrow E^{\prime }D\parallel AX$. Từ đó $DX=E^{\prime }C$, mà $DX=A{E}^{\prime }$ vì $A{E}^{\prime }DX$ là hình thang cân. Từ đó được $A{E}^{\prime }=E^{\prime }C$, suy ra $E$ trùng $E^{\prime }$.

Ta chứng minh xong $AMED$ là hình thang cân. Tương tự $ANFD$ cũng là hình thang cân.

Suy ra $ME,NF,AD$ có chung đường trung trực đó là $KOL$. Cũng dễ thấy $KOL$ phải đi qua $P$. Vậy $PA=PD$.