Bài toán (Chọn đội tuyển VMO tỉnh Bắc Giang 2013-2014) Cho dãy số $(x_{n})$ thỏa mãn \[\left\{\begin{matrix} x_{1}=0,x_{2}=1 & & \\ x_{n+1}=\dfrac{3x_{n-1}+2}{10x_{n}+2x_{n-1}+2},n\geq 2 & & \end{matrix}\right.\] Chứng minh rằng dãy $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Lời giải : Ta xét hàm hai biến sau trên tập số không âm : \[f(x,y)=\dfrac{3x+2}{10y+2x+2}\] Cố định $x$, lúc này $f$ là hàm một biến theo $y$ có đạo hàm : \[f'_x=\dfrac{-10(3x+2)}{(10y+2x+2)^2}< 0\] Vậy $f$ là hàm nghịch biến theo $y$. Cố định $y$, lúc này $f$ là hàm một biến theo $x$ có đạo hàm : \[f'_y=\dfrac{30y+2}{(10y+2x+2)^2}> 0\] Vậy $f$ là hàm đồng biến theo $x$. Ta có : \[2-x_{n+1}=\dfrac{2(10x_{n}+2x_{n-1}+2)-(3x_{n-1}+2)}{10x_{n}+2x_{n-1}+2}=\dfrac{20x_n+x_{n-1}+2}{10x_n+2x_{n-1}+2}> 0\] Như vậy thì : \[0\leq x_n< 2,\;\forall n\in \mathbb{N}^*\;\;\;(*)\] Ta tính được $x_3=1/6>x_1$ và $x_4=15/17<x_2$. Từ đó ta giả sử rằng : \[x_{2n+1}>x_{2n-1}\] và \[x_{2n}<x_{2n-2}\]. Chú ý vì $f(x,y)$ thì nghịch biến theo $y$ và đồng biến theo $x$ nên : \[x_{2n+3}=f(x_{2n+1},x_{2n+2})> f(x_{2n-1},x_{2n+2})>f(x_{2n-1},x_{2n})=x_{2n+1}\] \[x_{2n+2}=f(x_{2n},x_{2n+1})< f(x_{2n},x_{2n-1})< f(x_{2n-2},x_{2n-1})=x_{2n}\] Quy nạp xong, ta được $(x_{2n+1})$ tăng và $(x_{2n})$ giảm. Cả hai dãy này đều bị chặn do $(*)$ nên chúng đều hội tụ, giả sử chúng hội tụ lần lượt về $X,Y$. Ta được hệ : \[\left\{\begin{matrix} X=\dfrac{3X+4}{10Y+2X+2}\\ Y=\dfrac{3Y+4}{10X+2Y+2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4=10XY+2X^2-Y\\ (X-Y)(2(X+Y)-1)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow X=Y=\dfrac{1+\sqrt{193}}{24}\;\;(X,Y> 0)\] Vậy : \[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_n=\dfrac{1+\sqrt{193}}{24}\]

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán (Chọn đội tuyển VMO tỉnh Bắc Giang 2013-2014)

Cho dãy số $(x_{n})$ thỏa mãn

$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} = 0, x_{2} = 1 x_{n + 1} = \frac{3 x _{n - 1} + 2}{10 x _{n} + 2 x _{n - 1} + 2}, n \geq 2$

Chứng minh rằng dãy $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Lời giải :

Ta xét hàm hai biến sau trên tập số không âm :

$f (x, y) = \frac{3 x + 2}{10 y + 2 x + 2}$

Cố định $x$ , lúc này $f$ là hàm một biến theo $y$ có đạo hàm :

$f_{x}^{'} = \frac{- 10 ( 3 x + 2 )}{( 10 y + 2 x + 2 ) ^{2}} < 0$

Vậy $f$ là hàm nghịch biến theo $y$ .

Cố định $y$ , lúc này $f$ là hàm một biến theo $x$ có đạo hàm :

$f_{y}^{'} = \frac{30 y + 2}{( 10 y + 2 x + 2 ) ^{2}} > 0$

Vậy $f$ là hàm đồng biến theo $x$ .

Ta có :

$2 - x_{n + 1} = \frac{2 ( 10 x _{n} + 2 x _{n - 1} + 2 ) - ( 3 x _{n - 1} + 2 )}{10 x _{n} + 2 x _{n - 1} + 2} = \frac{20 x _{n} + x _{n - 1} + 2}{10 x _{n} + 2 x _{n - 1} + 2} > 0$

Như vậy thì :

$0 \leq x_{n} < 2, \forall n \in N^{*} (*)$

Ta tính được $x_{3} = 1/6 > x_{1}$ và $x_{4} = 15/17 < x_{2}$ . Từ đó ta giả sử rằng :

$x_{2 n + 1} > x_{2 n - 1}$ và $x_{2 n} < x_{2 n - 2}$ .

Chú ý vì $f (x, y)$ thì nghịch biến theo $y$ và đồng biến theo $x$ nên :

$x_{2 n + 3} = f (x_{2 n + 1}, x_{2 n + 2}) > f (x_{2 n - 1}, x_{2 n + 2}) > f (x_{2 n - 1}, x_{2 n}) = x_{2 n + 1}$

$x_{2 n + 2} = f (x_{2 n}, x_{2 n + 1}) < f (x_{2 n}, x_{2 n - 1}) < f (x_{2 n - 2}, x_{2 n - 1}) = x_{2 n}$

Quy nạp xong, ta được $(x_{2 n + 1})$ tăng và $(x_{2 n})$ giảm. Cả hai dãy này đều bị chặn do $(*)$ nên chúng đều hội tụ, giả sử chúng hội tụ lần lượt về $X, Y$ . Ta được hệ :

$⎩ ⎨ ⎧ X = \frac{3 X + 4}{10 Y + 2 X + 2} Y = \frac{3 Y + 4}{10 X + 2 Y + 2} \Leftrightarrow {4 = 10 X Y + 2 X^{2} - Y (X - Y) (2 (X + Y) - 1) = 0 \Leftrightarrow X = Y = \frac{1 + 193}{24} (X, Y > 0)$

Vậy :

$n \to + \infty lim x_{n} = \frac{1 + 193}{24}$

Sequence – Limit

Đề bài

Mô tả