Geometry

Bài toán : Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ trực tâm $H$, $D$ đối xứng với $H$ qua $BC$. $BE,CF$ là các đường cao. $DE$ cắt $(O)$ tại $G$ khác $D$. Chứng minh rằng $BG$ chia đôi $EF$.

Lời giải :

Gọi $J$ là giao của $BG$ và $EF$, $K$ là chân đường cao từ $A$ xuống $BC$.

Dễ thấy :

$$\Delta BFE\sim \Delta KHE\Rightarrow \frac{BF}{HK}=\frac{EF}{HE}$$

Cũng dễ thấy :

$$\Delta BFJ\sim \Delta DHE\Rightarrow \frac{BF}{HD}=\frac{FJ}{HE}$$

Chú ý vì $HD=2HK$ nên có ngay $EF=2FJ$ suy ra $J$ là trung điểm của $EF$.

Ta phát triển bài toán trên thành bài toán sau :

Bài toán : Từ một điểm $Z$ bên ngoài $(O)$, ta kẻ hai tiếp tuyến $ZA,Z{A}^{\prime }$ đến $(O)$ với hai tiếp điểm $A,A^{\prime }$. Kẻ cát tuyến $ZBC$. Các đường cao $BE,CF$ của tam giác $ABC$ gặp nhau tại $H$, $AH$ cắt $(O)$ tại $D$. $DF$ và $DE$ lần lượt lần nữa gặp $(O)$ tại $L,G$. Chứng minh rằng $BG,CL$ gặp nhau tại một điểm trên $A{A}^{\prime }$.

Lời giải :

Từ bài toán trên ta được $BG,CL$ gặp nhau tại trung điểm của $EF$. Như vậy bài toán hoàn tất nếu ta chỉ ra được $A{A}^{\prime }$ cũng đi qua trung điểm của $EF$. Gọi $J$ là giao của $EF$ và $A{A}^{\prime }$.

Ta gọi $X$ là giao của $A{A}^{\prime }$ và $BC$ thì $(ZX,BC)=-1$ (hàng điều hòa về đường tròn)

Suy ra :

$$A(ZJ,FE)=-1$$

Cũng dễ dàng chứng minh được $EF$ song song $AZ$ do cùng vuông góc với $OA$. Từ đó theo định lí về chùm điều hòa ta có $J$ là trung điểm của $EF$. Bài toán được chứng minh.