Geometry

Bài toán (International Mathematical Olympiad 2014)

Cho tam giác $ABC$. $P,Q$ là các điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $\angle PAB=\angle C$ và $\angle CAQ=\angle B$. $M,N$ thuộc tia đối của tia $PA,QA$ sao cho $P$ là trung điểm của $AM$ và $Q$ là trung điểm của $AN$. Chứng minh rằng $BM,CN$ gặp nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Lời giải :

 

Dễ dàng thấy rằng hai tam giác $PAB,QCA$ đồng dạng, kéo theo :

$$\frac{PB}{QA}=\frac{PA}{QC}\Rightarrow \frac{PB}{QN}=\frac{PM}{QC}(QA=QN,PA=PM)$$

Hơn nữa cũng dễ thấy $\angle BPN=\angle NQC$, suy ra hai tam giác $BPM,NQC$ đồng dạng. Suy ra :

$$\angle PMB=\angle QCN\Rightarrow \angle PMI=\angle PCI$$

Do đó bốn điểm $P,I,M,C$ đồng viên. Kéo theo :

$$\angle CMI=\angle CPM=\angle APB=\angle BAC$$

Điều này đồng nghĩa $ABIC$ nội tiếp, suy ra $I$ thuộc đường tròn $(ABC)$.