Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ ngoại tiếp $(I)$ với $D,E,F$ là tiếp điểm với $(I)$ trên $BC,CA,AB$. $M$ là trung điểm của $BC$. $H$ là hình chiếu của $M$ lên $EF$. Chứng minh rằng $IH$ và trung trực của $BC$ gặp nhau trên $(O)$.

Lời giải :

Gọi $I_b,I_c$ theo thứ tự là tâm bàng tiếp góc $B,C$ của tam giác $ABC$. $K,L$ theo thứ tự là giao của $CI,BI$ với $EF$. Gọi $N$ là giao của $OM$ và $(O)$, tức $N$ là điểm chính giữa cung $BAC$. Ta chứng minh $N,H,I$ thẳng hàng.

Ta có :

$\angle NC{I}_b$$=\angle BC{I}_b-\angle NCB$$=\left(\angle C+\angle AC{I}_b\right)-\left(90^0-\angle MNC\right)$$=\left(\angle C+90^0-\frac{\angle C}{2}\right)-(90^0-\frac{\angle A}{2})$$=\frac{\angle A+\angle C}{2}$$=\angle B{I}_{b}C$

Như vậy tam giác $NC{I}_b$ cân mà $\angle I_{c}C{I}_b=90^0$ nên $N$ là tâm ngoại tiếp tam giác $I_{c}C{I}_b$. Suy ra $N$ là trung điểm của $I_b{I}_c$.

Ta dễ dàng có được :

$$\angle BKC=\angle BLC=90^0$$ và $$B,K,C,L$$ đồng viên.

Từ đó :

$$\angle KLM=\angle KLB+\angle BLM=\angle KCB+\angle LBM=\frac{\angle +\angle C}{2}=\angle LKM$$

Tức tam giác $KLM$ cân, có đường cao $MH$ nên cũng là trung tuyến, tức $H$ là trung điểm của $KL$.

Dễ thấy $KL$ song song $I_b{I}_c$ do cùng vuông góc với $AI$. Trong tam giác $I{I}_c{I}_b$ có $K,L$ theo thứ tự thuộc hai cạnh bên mà $KL$ song song với đáy. $H,N$ theo thứ tự là trung điểm của $KL,I_b{I}_c$ nên $H,I,N$ thẳng hàng.