Bài toán : Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng $0$. Chứng minh : \[\left ( \dfrac{4a}{b+c}+1 \right )\left ( \dfrac{4b}{c+a}+1 \right )\left ( \dfrac{4c}{a+b}+1 \right )\geq 25\] Lời giải 1 : Ta đặt $x=\dfrac{2a}{b+c},y=\dfrac{2b}{c+a},z=\dfrac{2c}{a+b}$ thì ta được đẳng thức đẹp mắt : \[xy+yz+zx+xyz=4\] Và cần chứng minh : \[(2x+1)(2y+1)(2z+1)\geq 25\Leftrightarrow 8xyz+4(xy+yz+zx)+2(x+y+z)\geq 24\Leftrightarrow 4(xy+yz+zx+xyz)+4xyz+2(x+y+z)\geq 24\Leftrightarrow 2xyz+x+y+z\geq 4\] Với giả thiết $xy+yz+zx+xyz=4$, ta nghĩ ngay đến kết quả quen thuộc của kỳ thi VMO 1996 : \[x+y+z\geq xy+yz+zx\] Từ đó ta chỉ cần chứng minh : \[2xyz+xy+yz+zx\geq 4\Leftrightarrow xyz\geq 0\] Và điều này là luôn đúng. Bất đẳng thức đã cho được chứng minh, chú ý đẳng thức xảy ra khi $a=b,c=0$ hoặc các hoán vị. Lời giải 2 : Cố định $c$ và tổng $a+b$. Khi đó vế trái của BĐT viết dưới dạng : \[\dfrac{(4a+b+c)(4b+c+a)(4c+a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\dfrac{\alpha ab+\beta }{\gamma ab+\delta }\] Trong đó $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta =const$. Như vậy vế trái là hàm đơn điệu theo biến $t=ab$, dễ thấy $t\in \left [ 0,\dfrac{(a+b)^2}{4} \right ]$. Hàm đơn điệu thì luôn đạt cực trị tại biên nên vế trái sẽ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=0$ hoặc $t=(a+b)^2/4$. Nếu $t=0$ thì $a=0$ hoặc $b=0$. Nếu $t=(a+b)^2/4$ thì $a=b$. Như vậy bài toán được chia thành hai trường hợp. Nếu có một biến bằng $0$, giả sử $a=0$ thì ta cần chứng minh : \[\left ( \dfrac{4b}{c}+1 \right )\left ( \dfrac{4c}{b}+1 \right )\geq 25\] Dễ dàng thấy được điều này bằng Cauchy-Schwarz. Nếu có hai biến bằng nhau, giả sử $a=b$. Do tính thuần nhất ta có thể giả sử $a=b=1$, cần chứng minh : \[\left ( \dfrac{4}{c+1}+1 \right )^2\left ( 2c+1 \right )\geq 25\Leftrightarrow c(2c^2-4c+10)\geq 0\] Điều này hiển nhiên đúng. Bài toán hoàn tất.

Inequality

Bài toán : Cho các số không âm $a, b, c$ thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng $0$ . Chứng minh :

$(\frac{4 a}{b + c} + 1) (\frac{4 b}{c + a} + 1) (\frac{4 c}{a + b} + 1) \geq 25$

Lời giải 1 :

Ta đặt $x = \frac{2 a}{b + c}, y = \frac{2 b}{c + a}, z = \frac{2 c}{a + b}$ thì ta được đẳng thức đẹp mắt :

$x y + y z + z x + x y z = 4$

Và cần chứng minh :

$(2 x + 1) (2 y + 1) (2 z + 1) \geq 25 \Leftrightarrow 8 x y z + 4 (x y + y z + z x) + 2 (x + y + z) \geq 24 \Leftrightarrow 4 (x y + y z + z x + x y z) + 4 x y z + 2 (x + y + z) \geq 24 \Leftrightarrow 2 x y z + x + y + z \geq 4$

Với giả thiết $x y + y z + z x + x y z = 4$ , ta nghĩ ngay đến kết quả quen thuộc của kỳ thi VMO 1996 :

$x + y + z \geq x y + y z + z x$

Từ đó ta chỉ cần chứng minh :

$2 x y z + x y + y z + z x \geq 4 \Leftrightarrow x y z \geq 0$

Và điều này là luôn đúng. Bất đẳng thức đã cho được chứng minh, chú ý đẳng thức xảy ra khi $a = b, c = 0$ hoặc các hoán vị.

Lời giải 2 :

Cố định $c$ và tổng $a + b$ . Khi đó vế trái của BĐT viết dưới dạng :

$\frac{( 4 a + b + c ) ( 4 b + c + a ) ( 4 c + a + b )}{( a + b ) ( b + c ) ( c + a )} = \frac{α ab + β}{γ ab + δ}$

Trong đó $α, β, γ, δ = co n s t$ . Như vậy vế trái là hàm đơn điệu theo biến $t = ab$ , dễ thấy $t \in [0, \frac{( a + b ) ^{2}}{4}]$ . Hàm đơn điệu thì luôn đạt cực trị tại biên nên vế trái sẽ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t = 0$ hoặc $t = (a + b)^{2} /4$ .

Nếu $t = 0$ thì $a = 0$ hoặc $b = 0$ . Nếu $t = (a + b)^{2} /4$ thì $a = b$ . Như vậy bài toán được chia thành hai trường hợp.

Nếu có một biến bằng $0$ , giả sử $a = 0$ thì ta cần chứng minh :

$(\frac{4 b}{c} + 1) (\frac{4 c}{b} + 1) \geq 25$

Dễ dàng thấy được điều này bằng Cauchy-Schwarz.

Nếu có hai biến bằng nhau, giả sử $a = b$ . Do tính thuần nhất ta có thể giả sử $a = b = 1$ , cần chứng minh :

$(\frac{4}{c + 1} + 1)^{2} (2 c + 1) \geq 25 \Leftrightarrow c (2 c^{2} - 4 c + 10) \geq 0$

Điều này hiển nhiên đúng.

Bài toán hoàn tất.

Inequality

Đề bài

Mô tả