Inequality

Bài toán (International Mathematical Olympiad Shortlist 1993, Vietnam)

Cho bốn số không âm $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=1$. Chứng minh rằng :

$$abc+bcd+cda+dab\le \frac{1}{27}+\frac{176}{27}abcd$$

Lời giải :

Ta cố định $c,d$. Khi đó tổng $a+b$ cũng cố định. Khi đó hàm số :

$$f(a,b,c,d)=\frac{176}{27}abcd+\frac{1}{27}-abc-bcd-cda-dab$$

là hàm bậc nhất theo biến $ab$, do đó nó chỉ đạt cực trị tại biên của biến. Vì $ab\in \left[0,\frac{(a+b{)}^2}{4}\right]$ nên cực trị của hàm đạt được tại $a=b$, $a=0$ hoặc $b=0$.

Lý luận tương tự với hai biến $c,d$. Bài toán quy về hai trường hợp.

Nếu có một biến bằng $0$, giả sử $a=0$ thì cần chứng minh :

$$bcd\le \frac{1}{27}$$

Điều này luôn đúng theo AM-GM :

$$bcd\le {\left(\frac{b+c+d}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$$

Nếu $a=b$ và $c=d$ thì có $a+c=\frac{1}{2}$ và cần chứng minh :

$ac(a+c)$$\le \frac{1}{54}+\frac{88}{27}{a}^2{c}^2$$\iff \frac{88}{27}{a}^2{c}^2-\frac{1}{2}ac+\frac{1}{54}$$\ge 0$$\iff ac$$\le \frac{1}{16}\vee ab$$\ge \frac{1}{11}$

Điều này là luôn đúng vì ta có :

$$ac\le \frac{(a+c{)}^2}{4}=\frac{1}{16}$$

Bài toán hoàn tất.