Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$, phân giác $AD$. $P,Q$ là hai điểm trên $AD$ sao cho $\angle PAB=\angle QBC$. $E,F$ là hình chiếu của $P$ lên $CA,AB$. $H$ là hình chiếu của $Q$ lên $BC$, $K$ là hình chiếu của $H$ lên $EF$. Chứng minh $KH$ là phân giác góc $BKC$.

Lời giải :

Vì $BP,BQ$ đẳng giác trong góc $ABC$ nên theo định lí Steiner về tiêu chuẩn đẳng giác, ta được :

$$\frac{\overline{QD}}{\overline{QA}}.\frac{\overline{PD}}{\overline{PA}}=\frac{B{D}^2}{B{A}^2}$$

 Theo tính chất phân giác thì $\frac{BD}{BA}=\frac{DC}{CA}$ từ đó :

$$\frac{\overline{QD}}{\overline{QA}}.\frac{\overline{PD}}{\overline{PA}}=\frac{D{C}^2}{C{A}^2}$$

Lại theo định lí Steiner ta được $CP,CQ$ đẳng giác trong $ACB$.

Ta có :

$\frac{HB}{HC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}$$=\frac{cot{B}_1}{cot{C}_1}.\frac{cot{C}_2}{cot{A}_2}.\frac{cot{A}_1}{cot{B}_2}$$=1(\angle A_1$$=\angle A_2,\angle B_1$$=\angle B_2,\angle C_1$$=\angle C_2)$

Vậy theo Ceva thì $AH,BE,CF$ đồng quy. Từ đó áp dụng định lí về chùm điều hòa ta được $KH$ là phân giác góc $BKC$.