Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán : (Vietnamese Team Selection Test 1990)

Cho trước bốn số thực dương $a, b, A, B$ . Xét dãy số $(x_{n})$ :

$x_{1} = a, x_{2} = b, x_{n + 2} = A 3 x_{n + 1}^{2} + B 3 x_{n}^{2}, \forall n \in N^{*}$

Chứng minh rằng dãy trên có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Lời giải :

Xét hai dãy $(u_{n}) (v_{n})$ như sau :

${u_{1} = min {a, b, (A + B)^{3}} u_{n + 1} = (A + B) 3 u_{n}^{2}$

${v_{1} = ma x {a, b, (A + B)^{3}} v_{n + 1} = (A + B) 3 v_{n}^{2}$

Trước hết ta sẽ chứng minh $(u_{n}), (v_{n})$ hội tụ về cùng một giới hạn.

Ta có $u_{1} \geq (A + B)^{3}$ nên giả sử $u_{n} \geq (A + B)^{3}$ , ta có :

$u_{n + 1} = (A + B) 3 u_{n}^{2} \geq (A + B) 3 (A + B)^{6} = (A + B)^{3}$

Quy nạp thành công, tóm lại ta có $(u_{n})$ bị chặn dưới bởi $(A + B)^{3}$ .

Ta xét :

$u_{n + 1} - u_{n} = (A + B) 3 u_{n}^{2} - u_{n} = u_{n}^{2/3} [(A + B) - u_{n}^{1/3}] \leq 0 \Rightarrow u_{n + 1} \leq u_{n}$

Như vậy dãy $(u_{n})$ giảm, lại bị chặn dưới nên hội tụ.

Giải phương trình giới hạn ta được $n \to + \infty lim u_{n} = (A + B)^{3}$

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được $(v_{n})$ tăng và bị chặn trên bởi $(A + B)^{3}$ và tính được $n \to + \infty lim v_{n} = (A + B)^{3}$ .

Tiếp theo ta chứng minh bằng quy nạp :

$u_{n} \leq min {x_{2 n - 1}, x_{2 n}}$

Với $n = 1$ thì hiển nhiên. Gỉa sử như vậy, xét với $n + 1$ :

$u_{n + 1} = (A + B) 3 u_{n}^{2} \leq A 3 x_{2 n}^{2} + B 3 x_{2 n - 1}^{2} = x_{2 n + 1}$

$u_{n + 1} = (A + B) 3 u_{n}^{2} \leq A 3 u_{n + 1}^{2} + B 3 u_{n}^{2} \leq A 3 x_{2 n + 1}^{2} + B 3 x_{2 n}^{2} = x_{2 n + 2}$

Vậy theo nguyên lí quy nạp ta được $u_{n} \leq min {x_{2 n - 1}, x_{2 n}}$ .

Tương tự được :

$v_{n} \geq ma x {x_{2 n - 1}, x_{2 n}}$

Áp dụng nguyên lí kẹp, ta được ngay :

$n \to + \infty lim x_{n} = (A + B)^{3}$

Sequence – Limit