Inequality

Bài toán : Cho các số không âm $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng minh :

$$(1+3a)(1+3b)(1+3c)(1+3d)\le 125+131abcd$$

Lời giải :

Cố định hai biến $c,d$ khi đó tổng $a+b$ cũng cố định. Lúc này hàm :

$$f(a,b,c,d)=(1+3a)(1+3b)(1+3c)(1+3d)-125-131abcd$$

là hàm bậc nhất theo biến $ab$ nên chỉ đạt cực trị tại biên của biến. Có $ab\in \left[0,\frac{(a+b{)}^2}{4}\right]$ nên $f$ đạt cực trị tại $ab=0$ hay $ab=(a+b{)}^2/4$. Tức $a=b,a=0$ hoặc $b=0$.

Tương tự khi ta cố định $a,b$. Bài toán quy về hai trường hợp.

Nếu có một biến bằng $0$, giả sử $d=0$ ta cần chứng minh :

$$(1+3a)(1+3b)(1+3c)\le 125$$

Đúng theo AM-GM :

$$(1+3a)(1+3b)(1+3c)\le {\left(\frac{3+3(a+b+c)}{3}\right)}^3=125$$

Nếu $a=b$ và $c=d$ thì $a+c=2$, cần chứng minh :

$$(1+3a{)}^2(1+3c{)}^2\le 125+131a^2{c}^2\iff 50a^2{c}^2-126ac+76\ge 0$$

Điều này đúng với $ac\le (a+c{)}^2/4=1$.

Bài toán hoàn tất.