Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ trên cạnh $BC$. Các đường tròn $(APB),(APC)$ cắt $AC,AB$ tại $E,F$. $PE,PF$ cắt $AB,AC$ tại $M,N$. $Q$ là giao của $BN,CM$. Chứng minh khi $P$ thay đổi thì $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải :

Ta có :

$$\angle AEB=\angle APB=180^0-\angle APC=180^0-\angle AFC$$

Do vậy bốn điểm $A,F,R,E$ đồng viên với $R$ là giao của $BE,CF$. Từ đó không khó để suy ra $\angle APB=\angle RPC$.

Dễ dàng thấy theo định lí Pappus thì $P,Q,R$ thẳng hàng. Gọi giao của $RPQ$  với đường cao hạ từ $A$ của tam giác $ABC$ là $A^{\prime }$.

Ta có $\angle RPC=\angle BP{A}^{\prime }$ vì đối đỉnh mà $\angle APB=\angle RPC$ nên $\angle BP{A}^{\prime }=\angle APB$. Tam giác $AP{A}^{\prime }$ có $PB$ là phân giác và đường cao nên cũng là trung trực, tức $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua $BC$. Điểm $A^{\prime }$ là điểm cố định mà $PQ$ luôn đi qua.