Geometry

Bài toán (Chọn đội tuyển Trại hè Hùng Vương 2014 THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành, Yên Bái)

Cho tam giác $ABC$ có ba đường cao $A_1,B_1,C_1$. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua trung trực của $BC$. $B_2,C_2$ theo thứ tự đối xứng với $B_1$ qua trung điểm $AC$, $C_1$ qua trung điểm $AB$. 

a) Chứng minh $E{A}_1$ đi qua trọng tâm tam giác $ABC$

b) Chứng minh bốn điểm $A,E,B_2,C_2$ đồng quy.

Lời giải :

a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $G$ là giao của $AM$ và $E{A}_1$. Dễ thấy hai tam giác $AGE$ và $MG{A}_1$ đồng dạng, suy ra :

$$\frac{AG}{GM}=\frac{AE}{A_{1}M}=2$$

Từ đó $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Vậy $E{A}_1$ luôn đi qua trọng tâm tam giác $ABC$.

b) Dễ dàng thấy $AC=BE,AB=EC,B{C}_2=A{C}_1,B_{2}C=A{B}_1$. Từ đó xét hai tam giác $E{B}_{2}C,E{C}_{2}B$ :

$$\angle ACE=\angle ABE$$

$$\frac{B_{2}C}{CE}=\frac{A{B}_1}{AB}=\frac{A{C}_1}{AC}=\frac{B{C}_2}{BE}$$

Như vậy hai tam giác này đồng dạng, kéo theo :

$$\angle E{B}_{2}C=\angle E{C}_{2}B\Rightarrow E{B}_{2}A=\angle A{C}_{2}E$$

Vậy bốn điểm $A,E,B_2,C_2$ đồng viên.