Sequence – Limit

Bài toán : Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=\frac{1}{3}\\ x_{n+1}=\frac{x_n^2}{2}-1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Chứng minh rằng $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Lời giải  :

Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp $-1<x_n<0$.

Xét hàm số $f(x)=x^2/2-1$ có $f^{\prime }(x)=x<0,\forall x<0$ nên $f(x)$ nghịch biến trên $\left(-\infty ,0\right)$. Ta kiểm tra được $x_1>0>x_3$ và $x_2<x_4<0$.

Từ đó mà :

$$f(x_2)>f(x_4)\Rightarrow x_3>x_5\Rightarrow f(x_3)<f(x_5)\Rightarrow x_4<x_6$$

Quy nạp ta được ngay dãy $(x_{2n+1})$ giảm và $(x_{2n})$ tăng. Mà $(x_n)$ bị chặn trên và dưới nên hai dãy con nói trên đều hội tụ, giả sử chúng hội tụ lần lượt về $a,b$. Chuyển qua giới hạn :

$$\{\begin{array}{c}a=b^2/2-1\\ b=a^2/2-1\end{array}\Rightarrow (a-b)(a+b-2)=0$$

Do $a+b-2<0$ nên ta được $a=b=1\pm \sqrt{3}$, ta chọn $a=b=1-\sqrt{3}$.

Như vậy $(x_n)$ hội tụ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=1-\sqrt{3}$