Number Theory

Bài toán : Tìm các số nguyên dương $m,n$ với $m,n>1$ và thỏa mãn :

$$mn-1\mid n^3-1$$.

Lời giải :

Từ giả thiết ta có :

$$mn-1\mid m{n}^3-m=n^2(mn-1)-m+n^2\Rightarrow mn-1\mid n^2-m(1)$$

Từ đó lại suy ra :

$$mn-1\mid m{n}^2-m^2=n(mn-1)+n-m^2\Rightarrow mn-1\mid m^2-n(2)$$

Từ $(2)$ ta được $\left|n-m^2\right|\ge mn-1$.

Nếu mà $n>m^2$ thì :

$$n-1>n-m^2>mn-1$$

Và đây là điều vô lí.

Nếu mà $n=m^2$ ta được nghiệm $(m,n)=(k,k^2)$ với $k$ nguyên dương tùy ý.

Nếu mà $n<m^2$ :

$$m^2-1>m^2-n>mn-1\Rightarrow m>n$$

Từ $(1)$ ta lại có $\left|m-n^2\right|\ge mn-1$. Khi $m>n^2$ thì $m-1>m-n^2>mn-1$, điều này vô lí. Khi $m<n^2$ thì $n<m<n^2$ thì $n^2-n>n^2-m>mn-1$, điều này cũng vô lí với $m>n$. Như vậy $m=n^2$ ta được $(m,n)=(k^2,k)$ với $k$ nguyên dương tùy ý.

Kết luận nghiệm của bài toán là :

$$(m,n)=(k,k^2),(k^2,k)$$

với $k$ nguyên dương tùy ý.