Inequality

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Tìm số $k$ lớn nhất sao cho :

$$a^2+b^2+c^2+3k\ge (k+1)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$$

Lời giải :

Chọn $a=b=t,c=\frac{1}{t^2}$ ta được :

$2t^2+\frac{1}{t^4}+3k$$\ge \left(k+1\right)\left(\frac{2}{t}+t^2\right)$$\iff k$$\le \frac{(t^2+t+1{)}^2}{t^3(t+2)}$$=\frac{(x^2+x+1{)}^2}{1+2x}(x$$=1/t)$

Như vậy ta thấy $k_{max}=f(x{)}_{min}$ với $f(x)=\frac{(x^2+x+1{)}^2}{1+2x},x>0$

Do khi $t\to +\infty$ thì $x\to 0$ nên ta có thể xét $f(x)$ trên $\left[0,+\infty \right)$. Dễ thấy $f$ là hàm đồng biến, suy ra :

$$f(x)\ge f(0)=1$$

Từ đó $k_{max}=1$ nếu ta chỉ ra được :

$a^2+b^2+c^2+3$$\ge 2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$$=2(ab+bc+ca)$$\iff a^2+b^2+c^2+2abc+1$$\ge 2(ab+bc+ca)$

Đây là một kết quả quen thuộc được chứng minh bằng nguyên lí Dirichlet. (Ta cũng có thể thực hiện dồn biến để chứng minh)

Lưu ý có hai dấu bằng là $(1,1,1)$ hoặc $a=b\to +\infty ,c\to 0$ và các hoán vị.