Bài toán : Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi : \[\left\{\begin{matrix} u_0=a\geq 0\\ u_{n+1}=\dfrac{6}{u_n^2+2},\;\forall n\in \mathbb{N} \end{matrix}\right.\] Tồn tại hay không giá trị của $a$ để dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn ? Lời giải : Dễ thấy $(u_n)$ là dãy số dương. Xét hàm số $f(x)=\dfrac{6}{x^2+2}$ và $g(x)=f(f(x))$. Dễ dàng thấy $f(x)$ nghịch biến và $g(x)$ đồng biến trên $(0,+\infty )$. Ta có : \[g(x)=\dfrac{3(x^2+2)^2}{18+(x^2+2)^2}\] \[g(x)=x\Leftrightarrow \dfrac{(x-1)(x-2)(x^3+2x-6)}{18+(x^2+2)^2}=0\Leftrightarrow x\in \left \{ 1,2,k \right \}\] Trong đó : \[k=\sqrt[3]{3+\sqrt{\dfrac{251}{27}}}+\sqrt[3]{3-\sqrt{\dfrac{251}{27}}}\] là nghiệm của phương trình $x^3+2x-6=0$ (tính được bằng công thức Cardano) Kiếm tra được $1<k<2$. Ta có bảng biến thiên : 1. Trường hợp 1 : $x_1=a\leq 1$. Với mọi $x\in \left [ 0,1 \right ]$ thì $g(x)\in \left [ \dfrac{6}{11},1 \right ]$ và $g(x)>x$. Từ đó : \[x_3=g(x_1)=g(a)> a=x_1\] Do $f$ nghịch biến nên $f(x_3)<f(x_1)$ hay $x_4<x_2$. Bằng quy nạp ta được $(x_{2n+1})$ là dãy tăng và $(x_{2n})$ là dãy giảm. Hơn nữa dễ thấy $0< x_n< 3,\;\forall n$. Như vậy cả hai dãy trên đều hội tụ, gọi giới hạn của chúng lần lượt là $m,n$. Chuyển qua giới hạn ta được hệ : \[\left\{\begin{matrix} m=\dfrac{6}{n^2+2}\\ n=\dfrac{6}{m^2+2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} mn^2+2m=6\\ nm^2+2n=6 \end{matrix}\right.\Rightarrow (m-n)(mn-2)=0\] Nếu \[m=n\] thì \[m=n=k\]. Chú ý với mọi \[x\in \left [ 0,1 \right ]\] thì \[g(x)\in \left [ \dfrac{6}{11},1 \right ]\] mà \[x_1\in [0,1]\], quy nạp ta được \[x_{2n+1} leq 1 <k\]. Mâu thuẫn với việc giới hạn của nó bằng \[k\]. Vậy phải có $mn=2$. Từ đó thu được $(m,n)=(2,1),(1,2)$. Tức $m\neq n$, suy ra $(u_n)$ không hội tụ. 2. Trường hợp 2 : $1<x_1=a<k$. Với mọi $x\in \left [ 1,k \right ]$ thì $g(x)\in \left [ 1,k \right ]$ và $g(x)<x$. Ta có : \[x_1=a>g(a)=x_3\] \[x_2=f(x_1)<f(x_3)=x_4\] Quy nạp ta được $(x_{2n+1})$ tăng và $(x_{2n})$ giảm. Mà $u_n\in (0,3)$ nên hai dãy này đều hội tụ. Gọi giới hạn của chúng lần lượt là $m,n$. Tương tự trường hợp 1 ta lí luận được $m=n=k$ hoặc $mn=2$. Nhưng ta thấy : \[k>x_1>x_3>...>x_{2n+1}>....\] nên phải có $mn=2$. Tương tự trường hợp 1, ta cũng gặp mâu thuẫn. 3. Trường hợp 3 : $x_1=a=k$. Lúc này ta được $x_n=k,\;\forall n$, suy ra $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}u_n=k$. 4. Trường hợp 4 : $k<x_1a<2$. Xử lí tương tự trường hợp 1. Ta cũng lí luận được $(u_n)$ không hội tụ. 5. Trường hợp 5 : $x_1=a\geq 2$ Xứ lí tương tự trường hợp 2. Ta cũng lí luận được $(u_n)$ không hội tụ. Như vậy, tồn tại duy nhất giá trị $a=\sqrt[3]{3+\sqrt{\dfrac{251}{27}}}+\sqrt[3]{3-\sqrt{\dfrac{251}{27}}}$ để dãy $(u_n)$ hội tụ.

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán : Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi :

$⎩ ⎨ ⎧ u_{0} = a \geq 0 u_{n + 1} = \frac{6}{u _{n}^{2} + 2}, \forall n \in N$

Tồn tại hay không giá trị của $a$ để dãy $(u_{n})$ có giới hạn hữu hạn ?

Lời giải :

Dễ thấy $(u_{n})$ là dãy số dương.

Xét hàm số $f (x) = \frac{6}{x ^{2} + 2}$ và $g (x) = f (f (x))$ . Dễ dàng thấy $f (x)$ nghịch biến và $g (x)$ đồng biến trên $(0, + \infty)$ .

Ta có :

$g (x) = \frac{3 ( x ^{2} + 2 ) ^{2}}{18 + ( x ^{2} + 2 ) ^{2}}$

$g (x) = x \Leftrightarrow \frac{( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x ^{3} + 2 x - 6 )}{18 + ( x ^{2} + 2 ) ^{2}} = 0 \Leftrightarrow x \in {1, 2, k}$

Trong đó :

$k = 3 3 + \frac{251}{27} + 3 3 - \frac{251}{27}$

là nghiệm của phương trình $x^{3} + 2 x - 6 = 0$ (tính được bằng công thức Cardano)

Kiếm tra được $1 < k < 2$ .

Ta có bảng biến thiên :

1. Trường hợp 1 : $x_{1} = a \leq 1$ .

Với mọi $x \in [0, 1]$ thì $g (x) \in [\frac{6}{11}, 1]$ và $g (x) > x$ .

Từ đó :

$x_{3} = g (x_{1}) = g (a) > a = x_{1}$

Do $f$ nghịch biến nên $f (x_{3}) < f (x_{1})$ hay $x_{4} < x_{2}$ .

Bằng quy nạp ta được $(x_{2 n + 1})$ là dãy tăng và $(x_{2 n})$ là dãy giảm.

Hơn nữa dễ thấy $0 < x_{n} < 3, \forall n$ . Như vậy cả hai dãy trên đều hội tụ, gọi giới hạn của chúng lần lượt là $m, n$ . Chuyển qua giới hạn ta được hệ :

$⎩ ⎨ ⎧ m = \frac{6}{n ^{2} + 2} n = \frac{6}{m ^{2} + 2} \Leftrightarrow {m n^{2} + 2 m = 6 n m^{2} + 2 n = 6 \Rightarrow (m - n) (mn - 2) = 0$

Nếu $m = n$ thì $m = n = k$ . Chú ý với mọi $x \in [0, 1]$ thì $g (x) \in [\frac{6}{11}, 1]$ mà $x_{1} \in [0, 1]$ , quy nạp ta được $x_{2 n + 1} l e q 1 < k$ . Mâu thuẫn với việc giới hạn của nó bằng $k$ .

Vậy phải có $mn = 2$ . Từ đó thu được $(m, n) = (2, 1), (1, 2)$ . Tức $m \neq = n$ , suy ra $(u_{n})$ không hội tụ.

2. Trường hợp 2 : $1 < x_{1} = a < k$ .

Với mọi $x \in [1, k]$ thì $g (x) \in [1, k]$ và $g (x) < x$ .

Ta có :

$x_{1} = a > g (a) = x_{3}$

$x_{2} = f (x_{1}) < f (x_{3}) = x_{4}$

Quy nạp ta được $(x_{2 n + 1})$ tăng và $(x_{2 n})$ giảm. Mà $u_{n} \in (0, 3)$ nên hai dãy này đều hội tụ. Gọi giới hạn của chúng lần lượt là $m, n$ . Tương tự trường hợp 1 ta lí luận được $m = n = k$ hoặc $mn = 2$ .

Nhưng ta thấy :

$k > x_{1} > x_{3} > ... > x_{2 n + 1} > ....$

nên phải có $mn = 2$ . Tương tự trường hợp 1, ta cũng gặp mâu thuẫn.

3. Trường hợp 3 : $x_{1} = a = k$ .

Lúc này ta được $x_{n} = k, \forall n$ , suy ra $n \to + \infty lim u_{n} = k$ .

4. Trường hợp 4 : $k < x_{1} a < 2$ .

Xử lí tương tự trường hợp 1. Ta cũng lí luận được $(u_{n})$ không hội tụ.

5. Trường hợp 5 : $x_{1} = a \geq 2$

Xứ lí tương tự trường hợp 2. Ta cũng lí luận được $(u_{n})$ không hội tụ.

Như vậy, tồn tại duy nhất giá trị $a = 3 3 + \frac{251}{27} + 3 3 - \frac{251}{27}$ để dãy $(u_{n})$ hội tụ.

Sequence – Limit

Đề bài

Mô tả