Functional Equation

Bài toán : Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}\to \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$ thỏa mãn :

$$f(x)+f(y)=f(xyf(x+y)),\forall x,y,x+y\ne 0(1)$$

Lời giải :

Nếu tồn tại $z\in \mathbb{R}$ sao cho $z-\frac{1}{f(z)}\ne 0$ thì trong $(1)$ ta chọn $x=\frac{1}{f(z)},y=z-\frac{1}{f(z)}$ ta được :

$f\left(\frac{1}{f(z)}\right)+f\left(z-\frac{1}{f(z)}\right)$$=f\left(\frac{1}{f(z)}.\left(z-\frac{1}{f(z)}\right).f\left(z\right)\right)$$\iff f\left(\frac{1}{f(z)}\right)$$=0$

Điều này vô lí. Vậy với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$ ta có :

$$x-\frac{1}{f(x)}=0$$

Tức là $f(x)=\frac{1}{x},\forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$. Thử lại thấy thỏa. Đó cũng là đáp số duy nhất của bài toán.