Arithmetic Sequence

Bài toán : Cho dãy số thực $(a_n)$ thỏa mãn :

$$a_1\in \left(1,2\right)$$ và $$a_{n+1}=a_n+\frac{n}{a_n},\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$$

Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một cặp $(a_i,a_j)$ với $i\ne j$ sao cho $a_i+a_j$ là một số nguyên.

Lời giải :

Ta có $a_1>1$ và $a_2=a_1+\frac{1}{a_1}>2$. Để ý thấy $a_3-3=\frac{a_2^2+2}{a_2}-3=\frac{(a_2-2)(a_2-1)}{a_2}>0$ tức $a_3>3$. Ta dự đoán rằng :

$$a_n>n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Gỉa sử có điều này, ta có :

$$a_{n+1}-n-1=a_n+\frac{n}{a_n}-n-1=\frac{a_n^2-(n+1)a_n+n}{a_n}=\frac{(a_n-1)(a_n-n)}{a_n}>0$$

Như vậy theo nguyên lí quy nạp ta được $a_n>n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Ta đặt $b_n=a_n-n$. Ta có :

$$a_{n+1}=a_n+\frac{n}{a_n}<a_n+1\Rightarrow b_{n+1}+n+1<b_n+n+1\Rightarrow b_{n+1}<b_n$$

Như vậy dãy $(b_n)$ giảm.

Cũng dễ dàng thấy được $b_1=a_1-1<2-1=1$ và $a_2=a_1+\frac{1}{a_1}<2,5$ nên $b_2=a_2-2<0,5$

Với mọi $i,j\ge 2$ thì :

$$0<b_i+b_j<2b_2<1$$

Như vậy $b_i+b_j$ không thể là một số nguyên, kéo theo $a_i+a_j$ không thể nguyên.

Với $i\ge 2$ thì :

$$0<b_1+b_i<2b_1<2\Rightarrow b_1+b_i=1$$

Do $b_1$ cố định nên tồn tại số $i$ duy nhất (hoặc không tồn tại) thỏa mãn $b_1+b_i=1$. Tức có nhiều nhất 1 cặp $(b_i,b_j)$ thỏa $b_i+b_j$ nguyên, suy ra có nhiều nhất một cặp $(a_i,a_j)$ thỏa $a_i+a_j$ nguyên.

Bài toán được chứng minh.