Inequality

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$$P=(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)$$

Lời giải :

Chọn $a=b=t,c=3-2t$ thì :

$$P(t,t,3-2t)=(1+t^2{)}^2(1+(3-2t{)}^2)=(1+t^2{)}^2(4t^2-12t+10)$$

Ta có :

$$P^{\prime }(t,t,3-2t)=24t^5-60t^4+72t^3-72t^2+48t-12=12(t-1{)}^2(2t-1)(t^2+1)$$

Do đó $P^{\prime }=0\iff t\in \left\{1,1/2\right\}$

Ta có bảng biến thiên của $P$ như sau :

Qua bảng biến thiên ta thấy $P_{min}=\frac{125}{16}$ tương ứng khi $t=1/2$.

Vậy ta chứng minh :

$$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\ge \frac{125}{16}$$

Trước hết ta chứng minh :

$P(a,b,c)$$\ge P\left(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c\right)$$\iff \left(1+a^2\right)(1+b^2)$$\ge {\left(1+\frac{(a+b{)}^2}{4}\right)}^2$$\iff a^2+b^2-\frac{(a+b{)}^2}{2}$$\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^4-a^2{b}^2$$\iff \frac{(a-b{)}^2}{2}$$\ge \left(\frac{(a+b{)}^2}{4}-ab\right)\left(\frac{(a+b{)}^2}{4}+ab\right)$$=\frac{(a-b{)}^2}{4}.\frac{(a+b{)}^2+4ab}{4}$$\iff (a+b{)}^2+4ab$$\le 8$

Điều này luôn đúng vì nếu ta giả sử $c=max\left\{a,b,c\right\}\Rightarrow a+b\le 2$. Từ đó :

$$(a+b{)}^2+4ab\le 2(a+b{)}^2\le 8$$

Tiếp theo ta chỉ cần chứng tỏ :

$P\left(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c\right)$$\ge \frac{125}{16}$$\iff P(t,t,3-2t)$$\ge \frac{125}{16}$$\iff {\left(1+t^2\right)}^2(4t^2-12t+10)$$\ge \frac{125}{16}$

Điều này luôn đúng vì ta đã khảo sát hàm này ở trên.