Sequence – Limit

Bài toán (Kiểm tra trường Đông toán học miền Nam 2013-2014)

Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $a_1=\frac{1}{3},a_2=\frac{2}{7}$ và :

$$a_{n+1}=\frac{1}{2}+\frac{a_n}{3}+\frac{a_{n-1}^2}{6}$$

Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Lời giải :

Ta chứng minh từ số hạng thứ hai trở đi, dãy $(a_n)$ là dãy tăng. Thật vậy, dễ kiểm tra được $a_3>a_2$. Gỉa sử $a_{k+1}>a_k,\forall k=\overline{2,n}$. Từ đó :

$$a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{a_{n+1}-a_n}{3}+\frac{a_n-a_{n-1}}{6}.(a_n+a_{n-1})$$

Cũng dễ thấy $a_n>0$ nên $a_{n+2}>a_{n+1}$. Theo nguyên lí quy nạp ta được dãy $(a_n)$ tăng.

Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp $a_n\le 1,\forall n$. Từ đó ta được dãy $(a_n)$ hội tụ về giới hạn $L$. Chuyển qua giới hạn :

$L$$=\frac{1}{2}+\frac{L}{3}+\frac{L^2}{6}$$\iff L\in \left\{1,3\right\}$$\Rightarrow L$$=1$

Vậy dãy $(a_n)$ hội tụ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=1$