Sequence – Limit

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Thành phố Hồ Chí Minh)

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=m\in \mathbb{R}\\ 7u_{n+1}=\sqrt{30u_n^2+4}\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Lời giải :

Nếu $m\in \left(\frac{-2}{\sqrt{19}},\frac{2}{\sqrt{19}}\right)$ thì $7u_2=\sqrt{30m^2+4}>7m=7u_1\Rightarrow u_2>u_1(\ast )$

Ta có :

$7(u_{n+1}-u_n)$$=\sqrt{30u_n^2+4}-\sqrt{30u_{n-1}^2+4}$$=\frac{30(u_n+u_{n-1})(u_n-u_{n-1})}{\sqrt{30u_n^2+4}+\sqrt{30u_{n-1}^2}+4}(\ast \ast )$

Chú ý dãy $(u_n)$ dương kể từ số hạng thứ hai trở đi nên từ $(\ast )(\ast \ast )$ quy nạp ta được dãy $(u_n)$ tăng.

Ta lại có $u_1=m\in \left(-\frac{2}{\sqrt{19}},\frac{2}{\sqrt{19}}\right)$, giả sử $u_n\in \left(-\frac{2}{\sqrt{19}},\frac{2}{\sqrt{19}}\right)$. Ta có :

$u_{n+1}^2$$=\frac{30u_n^2+4}{49}$$<\frac{30.4/19+4}{49}$$=\frac{4}{19}$$\Rightarrow u_{n+1}\in \left(-\frac{2}{\sqrt{19}},\frac{2}{\sqrt{19}}\right)$

Theo nguyên lí quy nạp thì $u_n\in \left(-\frac{2}{\sqrt{19}},\frac{2}{\sqrt{19}}\right)$ với mọi $n$, tức $(u_n)$ bị chặn trên.

Như vậy $(u_n)$ hội tụ về $L$. Giải phương trình giới hạn ta nhận nghiệm phù hợp $L=\frac{2}{\sqrt{19}}$

Nếu $m\in \left(-\infty ,\frac{-2}{\sqrt{19}}\right]\cup \left[\frac{2}{\sqrt{19}},+\infty \right)$

Thì thấy ngay :

$$7u_2=\sqrt{30m^2+4}<7m=7u_1\Rightarrow u_2<u_1(\ast \ast \ast )$$

Từ $(\ast \ast )(\ast \ast \ast )$ quy nạp được $(u_n)$ giảm. Hơn nữa dễ thấy $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $0$ (từ số hạng thứ hai trở đi)

Nên $(u_n)$ hội tụ về $L$.Giải phương trình giới hạn ta nhận nghiệm phù hợp $L=\frac{2}{\sqrt{19}}$

Cả hai trường hợp ta đều có :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\frac{2}{\sqrt{19}}$$