Number Theory

Bài toán : Chứng minh rằng tồn tại vô số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn :

$$\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}\in {\mathbb{Z}}^{+}$$

Lời giải :

Ta đặt $\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=k(k\in {\mathbb{Z}}^{+})$. Biến đổi phương trình về dạng :

$$m^2+m(1-kn)+n^2+n=0$$

Phương trình này có $\Delta =(1-kn{)}^2-4(n^2+n)=(k^2-4)n^2-2n(k+2)+1$. Ta chọn $k$ cụ thể để thuận tiện cho việc biến đổi, ta chọn $k=4$. Ta cần chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $\Delta =12n^2-12n+1$ chính phương.

Hay phương trình :

$$12n^2-12n+1=t^2\iff 3(4n^2-4n+1)-2=t^2\iff t^2-3(2n-1{)}^2=-2$$

có vô số nghiệm nguyên dương.

Ta xây dựng hai dãy $(x_n),(y_n)$ như sau :

$$\{\begin{array}{c}{x}_0=1,y_0=1\\ x_{n+1}=2x_n+3y_n\\ y_{n+1}=x_n+2y_n\end{array}$$

Khi ấy ta có :

$$x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2=(2x_n+3y_n{)}^2-3(x_n+2y_n{)}^2=x_n^2-3y_n^2=...=x_0^2-3y_0^2=-2$$

Điều này chứng tỏ phương trình dạng :

$$X^2-3Y^2=-2(X=t,Y=2n-1)$$

có vô hạn nghiệm nguyên dương $(x_k,y_k)$ với $x_k,y_k$ là số hạng bất kỳ của hai dãy $(x_n)(y_n)$

Chú ý là ta có :

$$m=\frac{4n-1\pm t}{2}$$

Nên để $m$ nguyên thì $t$ phải lẻ.

Như vậy bài toán sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được có vô số số hạng của dãy $(x_n),(y_n)$ là số lẻ. Điều này là hiển nhiên vì ta thấy mọi số hạng của dãy $(x_n),(y_n)$ đều lẻ và ta hoàn toàn chứng minh được điều này bằng quy nạp toán học.

Như vậy phương trình :

$$\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=4$$

có vô hạn nghiệm nguyên dương, tức bài toán được chứng minh.

 

Lưu ý ở bài này ta chỉ có thể chọn $$k=3$$ hoặc $$k=4$$. Còn những trường hợp còn lại thì phương trình không có nghiệm nguyên, có thể xem chứng minh tại đây.