Inequality

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}\ge 3(a^2+b^2+c^2)+\frac{7}{2}$$ 

Lời giải :

Ta đặt $f(a,b,c)=VT-VP$. Xét hiệu :

$f(a,b,c)-f\left(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c\right)$$=\left(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}-\frac{2}{1-\frac{a+b}{2}}\right)-3(a^2+b^2)+3.2{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$$=\frac{(a-b{)}^2}{(1-a)(1-b)(2-a-b)}-3.\frac{(a-b{)}^2}{2}$$=\frac{(a-b{)}^2}{2}\left[\frac{1}{(1-a)(1-b)(2-a-b)}-3\right]$

Không giảm tổng quát, ta có thể giả sử $c=min\left\{a,b,c\right\}\Rightarrow c\le \frac{1}{3}$.

Từ đó theo AM-GM :

$(1-a)(1-b)(2-a-b)$$\le \frac{(4-2(a+b){)}^3}{27}$$=\frac{8}{27}.(c+1{)}^3$$\le \frac{8}{27}.{\left(1+\frac{1}{3}\right)}^3$$<\frac{1}{3}$

Từ đó có được :

$$f(a,b,c)\ge f\left(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c\right)$$

Như vậy ta chỉ cần chứng tỏ rằng :

$$f\left(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c\right)\ge 0$$

Hay :

$$f(t,t,1-2t)\ge 0$$ với $$t=(a+b)/2$$.

Biến đổi tương đương :

$\frac{2}{1-t}+\frac{1}{2t}$$\ge 3\left[2t^2+(1-2t{)}^2\right]+\frac{7}{2}$$\iff (3t-1{)}^2(2t-1{)}^2$$\ge 0$

Điều này luôn đúng. Như vậy ta có điều phải chứng minh.