Number Theory

Bài toán (Balkan Mathematical Olympiad 2009)

Giải phương trình

$$3^x-5^y=z^2$$

trên tập nghiệm nguyên dương.

Lời giải :

Bằng cách xét modulo $4$ ta được $x$ chẵn, đặt $x=2k$ với $t$ nguyên dương. Ta viết phương trình dưới dạng :

$$(3^k-z)(3^k+z)=5^y$$

Ta gọi $d=\gcd (3^k-z,3^k+z)$ ta được $d\mid (3^k-z)+(3^k+z)=2.3^t$. Lại có $d\mid (3^k-z)(3^k+z)=5^y$. Hai điều này mâu thuẫn nhau.

Như vậy phải có $\gcd (3^k-z,3^k+z)=1$. Ta được :

$$3^k-z=1$$ và $$3^k+z=5^y$$

Dẫn đến :

$$2.3^k=5^y+1$$

Dễ thấy $y=k=1$ thỏa. Ta xét $k,x>1$. Đưa về dạng :

$$5(5^{y-1}-1)=2.3(3^{k-1}-1)$$

Ta có :

$$3^{k-1}\equiv 1(\mathrm{mod}5)\Rightarrow 4=or{d}_5(3)\mid k-1$$

Từ đó :

$$5(5^{y-1}-1)=2.3(3^{k-1}-1)⋮2(3^4-1)⋮32$$

Suy ra :

$$5^{y-1}\equiv 1(\mathrm{mod}32)\Rightarrow 8=or{d}_{32}(5)\mid y-1$$

Kéo theo :

$$2.3(3^{k-1}-1)=5(5^{y-1}-1)⋮5^8-1⋮13$$

Như vậy :

$$3^{k-1}\equiv 1(\mathrm{mod}13)\Rightarrow 6=or{d}_{13}(3)\mid k-1$$

Lại suy ra :

$$5(5^{y-1}-1)=2.3(3^{k-1}-1)⋮3^6-1⋮7$$

Từ đó ta được :

$$5^{y-1}\equiv 1(\mathrm{mod}7)\Rightarrow 6=or{d}_7(5)\mid y-1$$

Nhưng lúc này thì :

$$2.3(3^{k-1}-1)=5(5^{y-1}-1)⋮5^6-1⋮9$$

Và đây là điều vô lí. Ta được nghiệm duy nhất của phương trình là $(x,y,z)=(2,1,2)$.