Number Theory

Bài toán (Turkey Junior Balkan Mathematical Olympiad Team Selection Test 2013)

Tìm các số nguyên dương $n$ thỏa mãn :

$$2n+7\mid n!-1$$.

Lời giải :

Lần lượt thử với $n=1,2,3$ thì nhận $n=1$. Xét $n\ge 4$.

Gọi $q$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $2n+7$. Ta được $q\mid n!-1$. Hơn nữa vì tính nhỏ nhất của $q$ nên $q<\sqrt{2n+7}<n$. Suy ra $q\mid n!$. Điều này mâu thuẫn với $q\mid n!-1$.

Như vậy $2n+7$ sẽ không có một ước nguyên tố nào vượt quá $\sqrt{2n+7}$. Ta suy ra $2n+7=p$ là một số nguyên tố.

Từ giả thiết :

$$n!\equiv 1(mod2n+7)$$

Theo định lí Wilson :

$$(2n+6)!\equiv -1(mod2n+7)$$

Từ đó suy ra :

$$(n+1)(n+2)...(2n+5)(2n+6)\equiv -1(mod2n+7)$$

Dẫn đến :

$(-n-6)(-n-5)...(-2)(-1)$$\equiv -1(mod2n+7)$$\Rightarrow (-1{)}^{n+6}(n+6)!$$\equiv -1(mod2n+7)$$\Rightarrow n!.(n+1)...(n+6)$$\equiv (-1{)}^{n+1}(mod2n+7)$$\Rightarrow (n+1)...(n+6)$$\equiv (-1{)}^{n+1}(mod2n+7)$

Hay :

$\left(\frac{p-5}{2}\right)\left(\frac{p-3}{2}\right)...\left(\frac{p+5}{2}\right)$$\equiv (-1{)}^{\frac{p-5}{2}}(\mathrm{mod}p)$$\iff (p^2-25)(p^2-9)(p^2-1)$$\equiv 64(-1{)}^{\frac{p-5}{2}}(\mathrm{mod}p)$$\iff (-25).(-9)(-1)$$\equiv 64(-1{)}^{\frac{p-5}{2}}(\mathrm{mod}p)$$\iff 225$$\equiv 64.(-1{)}^n(\mathrm{mod}2n+7)$

Nếu $n$ lẻ ta được $289\equiv 0(\mathrm{mod}2n+7)\Rightarrow 2n+7=17\Rightarrow n=5$

Nếu $n$ chẵn ta được $161\equiv 0(\mathrm{mod}2n+7)\Rightarrow 2n+7\in \left\{7,23\right\}\Rightarrow n=8$

Thử lại các giá trị này đều thỏa mãn. Vậy đáp số là $\boxed{n\in \left\{1,5,8\right\}}$