Geometry

Bài toán (Balkan Mathematical Olympiad 2008)

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AC>BC$. Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp và $H$ là trực tâm tam giác, $F$ là chân vuông góc hạ từ $C$. $P$ là điểm của $AB$ sao cho $FA=FP$. $M$ là trung điểm của $BC$. $PH$ giao $BC$ tại $X$, $Y$ là giao của $OM$ và $FX$, $Z$ là giao của $FO$ và $AC$. Chứng minh bốn điểm $F,M,Y,Z$ đồng viên.

Lời giải :

Gọi $R$ là giao của $CH$ và $(O)$. $RB$ giao $AC$ tại $J$. $AR$ giao $BC$ tại $K$. $AP$ giao $JK$ tại $W$.

Dễ thấy tứ giác $ARPH$ là hình thoi nên $HP\parallel AK$. Suy ra $\frac{BX}{BK}=\frac{BP}{BA}(1)$.

Chú ý ta có $J(KF,BC)=-1$ (hàng điều hòa tứ giác toàn phần) hay $J(WF,BA)=-1$. Suy ra $\frac{WB}{WA}=\frac{FB}{FA}$.

Kéo theo :

$\frac{FA}{FB}$$=\frac{WA}{WB}$$=\frac{AB+BW}{BW}$$=\frac{AB}{BW}+1$$\iff \frac{FA-FB}{FB}$$=\frac{AB}{BW}$$\iff \frac{FP-FB}{FB}$$=\frac{AB}{BW}$$\iff \frac{BP}{FB}$$=\frac{AB}{BW}$$\iff \frac{FB}{BW}$$=\frac{BP}{BA}(2)$

Từ $(1)(2)$ ta suy ra $\frac{BX}{BK}=\frac{FB}{BW}$. Theo định lí Thales đảo ta có $FX\parallel JW$ hay $FX\parallel JK$.

Theo định lí Brocard ta có $O$ là trực tâm tam giác $JFK$, kéo theo $OF$ vuông góc $JK$.

Ta được $OF$ vuông góc $FX$. Từ đó dễ dàng chỉ ra được điều phải chứng minh.