Functional Equation

Bài toán (Chọn đội tuyển Trại hè Hùng Vương 2014 THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành, Yên Bái)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f((1+x)f(y))=yf(1+f(x)),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Cố định $x$ trong $(1)$ ta được $f$ là toàn ánh.

Trong $(1)$ ta cho $x=-1,y=0$ được $f(0)=0$.

Trong $(1)$ cho $x=0$ :

$$f(f(y))=yf(1),\forall y\in \mathbb{R}(\ast )$$

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $f(y)$ :

$f((1+x)f(f(y)))$$=f(y)f(1+f(x)),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff f((1+x).yf(1))$$=f(y).f(1+f(x)),\forall x,y\in \mathbb{R}(2)$

Nếu $f(1)=0$ thì từ $(2)$ ta được $f(y)f(1+f(x))=0,\forall x,y\in \mathbb{R}$. Chú ý $f$ toàn ánh nên ta được $f\equiv 0$.

Nếu $f(1)\ne 0$, trong $(2)$ thay $y=\frac{1+f(x)}{(1+x)f(1)}$ được :

$$f\left(\frac{1+f(x)}{(1+x)f(1)}\right)=1,\forall x\ne -1$$

Hay :

$$f(a)=1,\forall x\ne -1,a=\frac{1+f(x)}{(1+x)f(1)}$$

Ta tính $a$. Chú ý nhờ $(\ast )$ ta được :

$f(f(a))$$=af(1)$$\iff f(1)$$=af(1)$$\iff a$$=1$$\iff \frac{1+f(x)}{(1+x)f(1)}$$=1,\forall x$$\ne -1$$\iff f(x)$$=ax+b,\forall x$$\ne -1$

Thay vào $(1)$ tìm được $a=1,b=0$. Suy ra $f(x)=x,\forall x\ne -1$ mà $f(-1)=-1$ nên có $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$

Có hai hàm thỏa mãn bài ra là :

$$f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$

$$f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$$