Functional Equation

Bài toán (Đề xuất Olympic Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ toán 10 THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng năm 2013-2014)

Tìm tất cả các hàm số $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+f(y))=-3f(x)+4x+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Lời giải :

Viết phương trình hàm đã cho dưới dạng :

$$f(x+f(y))+3f(x)=4x+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Cố định $y$ thì vế phải là hàm bậc nhất theo $x$ nên sẽ vét cạn tập $\mathbb{R}$. Suy ra với mọi số thực $t$, tồn tại các số thực $u,v$ sao cho :

$$f(u)+3f(v)=t$$

Trong $(1)$ lấy $x=0$ :

$$f(f(y))=f(y)-3f(0),\forall y\in \mathbb{R}$$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $f(x)$ :

$f(f(x)+f(y))$$=4f(x)+f(y)-3f(f(x))$$=4f(x)+f(y)-3(f(x)-3f(0))$$=f(x)+f(y)+9f(0),\forall x,y\in \mathbb{R}$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $f(x)+f(y)$ :

$f(f(x)+2f(y))$$=4(f(x)+f(y))+f(y)-3f(f(x)+f(y))$$=4f(x)+5f(y)-3(f(x)+f(y)+9f(0))$$=f(x)+2f(y)-27f(0),\forall x,y\in \mathbb{R}$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $f(x)+2f(y)$ :

$f(f(x)+3f(y))$$=4(f(x)+2f(y))+f(y)-3(f(x)+2f(y)-27f(0))$$=f(x)+3f(y)+81f(0),\forall x,y\in \mathbb{R}(\ast )$

Trong $(\ast )$ lấy $x=u,y=v$ :

$$f(t)=f(f(u)+3f(v))=f(v)+3f(v)+81f(0)=t+a,\forall t\in \mathbb{R},a=const$$

Thay vào $(1)$ tìm được $a=0$. Như vậy có duy nhất một hàm thỏa đề là :

$$f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$