Geometry

Bài toán (Rioplatense Mathematical Olympiad Level 3 2008)

Cho tam giác $ABC$ có $AB<AC$ và $X,Y,Z$ theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với $BC,CA,AB$. Gọi $U$ là trung điểm của cung tròn $BC$ chứa điểm $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tia $UX$ gặp đường tròn $(ABC)$ lần nữa tại $K$. $AK$ cắt $YZ$ tại $T$. Chứng minh $XT$ vuông góc $YZ$.

Lời giải :

Gọi $L$ là giao của $YZ$ và $BC$. Ta có :

$$\angle TLX=\angle AYZ-\angle ACB=\frac{180^0-\angle A}{2}-\angle C$$

$\angle TKX$$=\angle AKU$$=\angle ACU$$=(180^0-\angle AUC)-\angle UAC$$=\angle B-\frac{\angle UOC}{2}$$=\angle B-\frac{180^0-2\angle OUC}{2}$$=\angle B-\frac{180^0-\angle A}{2}$

Dễ thấy $\frac{180^0-\angle A}{2}-\angle C=\angle B-\frac{180^0-\angle A}{2}$ do đó có $\angle TLX=\angle TKX$.

Do vậy tứ giác $TXKL$ nội tiếp. Ta có $(LX,BC)=-1$ và $BX$ là phân giác góc $BKC$ suy ra $LK$ vuông góc $LX$.

Từ đó có ngay $TX$ vuông góc $TL$ hay $TX$ vuông góc $YZ$.