Bài toán (Turkey Junior Balkan Mathematical Olympiad Team Selection Test 2014) Tìm tất cả bộ ba các số nguyên dương $(a,b,c)$ thỏa mãn : \[(a^3+b)(a+b^3)=2^c\] Lời giải : Nếu $a=b$ thì $a^2(a^2+1)^2=2^c$. Nhận $a=1,c=2$. Nếu $a>1$ thì trong hai số $a,a^2+1$ sẽ là số lẻ, dẫn đến $2^c$ có chứa ước nguyên tố lẻ. Ta gặp mâu thuẫn Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a>b$. Từ giả thiết ta được : \[a^3+b=2^m,a+b^3=2^n\] Chú ý vì $a>b$ nên : \[2^m-2^n=(a^3+b)-(a+b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2-1)> 0\Rightarrow m> n\] Từ đó suy ra : \[a+b^3\mid a^3+b\] Nhưng cũng có $a+b^3\mid a^3+b^9$. Suy ra $a+b^3\mid b^9-b$. Hay $2^n\mid b^9-b$. Ta chứng minh $a,b$ đều lẻ. Đặt $a=2^u.x,b=2^v.y$ với $x,y$ nguyên dương lẻ và $u,v$ tự nhiên. Ta được : \[2^{3u}x^3+2^v.y=2^m\] Nếu $3u\geq v$ thì $2^{v}(2^{3u-v}x^3+y)=2^m\Rightarrow 3u=v$. Tương tự nếu $3u\leq v$ thì cũng có $3u=v$. Do vậy $3u=v$, tương tự $u=3v$, ta được $u=v=0$. Suy ra $a,b$ đều lẻ. Từ đó ta có : \[2^n\mid b^8-1=(b^4-1)(b^4+1)\] Vì $\gcd(b^4-1,b^4+1)=2$ và vì $b$ lẻ nên $4\mid b^4-1$. Như vậy ta phải có $2^{n-1}\mid b^4-1=(b^2-1)(b^2+1)$. Cũng có $\gcd(b^2-1,b^2+1)=2$ và $4\mid b^2-1$ nên $2^{n-2}\mid b^2-1=(b-1)(b+1)$. Lại vì $\gcd(b-1,b+1)=2$ nên $b+\epsilon =2^{n-3}.q\;\;(q\in \mathbb{Z}^+,\epsilon =\pm 1)$ Tới đây, ta có : \[8b+8\epsilon =2^n.q> a+b^3\] Ta dễ chứng minh được bằng quy nạp rằng nếu $b\geq 4$ thì $b^3> 8b+8$. Do đó : \[a+b^3> 8b+8+a> 8b+8\epsilon\] Ta gặp mâu thuẫn. Như vậy phải có $b\leq 3$. Vì $b$ lẻ nên $b=1$ hoặc $b=3$. Khi $b=1$ ta được $a+1=2^n,a^3+1=2^m$. Khử $a$ ta được phương trình : \[(2^n-1)^3+1=2^m\Leftrightarrow 2^{3n-m}-3.2^{2n-m}+3=2^{m-n}\] Từ đây ta suy ra $m=n$, dẫn đến $a=1$, ta loại vì đang xét $a>b$. Khi $b=3$ ta được $a+27=2^n,a^3+3=2^m$. Khử $a$ ta được phương trình : \[(2^n-27)^3+3=2^m\Leftrightarrow 2^{3n}-81.2^{2n}+2187.2^n-19680=2^m\] Nếu $n>5$ thì : \[2^{3n-5}-81.2^{2n-5}+2187.2^{n-5}-615=2^{m-5}\] Ta gặp mâu thuẫn. Do đó $n\leq 5$. Mà $2^n=a+27> 16\Rightarrow n> 4$. Ta được $n=5$. Ta được cặp $(a,b)=(5,3)$. Đáp số của bài toán là $(a,b,c)=(1,1,2),(3,5,12),(5,3,12)$

Number Theory

Bài toán (Turkey Junior Balkan Mathematical Olympiad Team Selection Test 2014)

Tìm tất cả bộ ba các số nguyên dương $(a, b, c)$ thỏa mãn :

$(a^{3} + b) (a + b^{3}) = 2^{c}$

Lời giải :

Nếu $a = b$ thì $a^{2} (a^{2} + 1)^{2} = 2^{c}$ . Nhận $a = 1, c = 2$ . Nếu $a > 1$ thì trong hai số $a, a^{2} + 1$ sẽ là số lẻ, dẫn đến $2^{c}$ có chứa ước nguyên tố lẻ. Ta gặp mâu thuẫn

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a > b$ .

Từ giả thiết ta được :

$a^{3} + b = 2^{m}, a + b^{3} = 2^{n}$

Chú ý vì $a > b$ nên :

$2^{m} - 2^{n} = (a^{3} + b) - (a + b^{3}) = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2} - 1) > 0 \Rightarrow m > n$

Từ đó suy ra :

$a + b^{3} ∣ a^{3} + b$

Nhưng cũng có $a + b^{3} ∣ a^{3} + b^{9}$ . Suy ra $a + b^{3} ∣ b^{9} - b$ . Hay $2^{n} ∣ b^{9} - b$ .

Ta chứng minh $a, b$ đều lẻ. Đặt $a = 2^{u} . x, b = 2^{v} . y$ với $x, y$ nguyên dương lẻ và $u, v$ tự nhiên.

Ta được :

$2^{3 u} x^{3} + 2^{v} . y = 2^{m}$

Nếu $3 u \geq v$ thì $2^{v} (2^{3 u - v} x^{3} + y) = 2^{m} \Rightarrow 3 u = v$ . Tương tự nếu $3 u \leq v$ thì cũng có $3 u = v$ .

Do vậy $3 u = v$ , tương tự $u = 3 v$ , ta được $u = v = 0$ . Suy ra $a, b$ đều lẻ.

Từ đó ta có :

$2^{n} ∣ b^{8} - 1 = (b^{4} - 1) (b^{4} + 1)$

Vì $g cd (b^{4} - 1, b^{4} + 1) = 2$ và vì $b$ lẻ nên $4 ∣ b^{4} - 1$ . Như vậy ta phải có $2^{n - 1} ∣ b^{4} - 1 = (b^{2} - 1) (b^{2} + 1)$ .

Cũng có $g cd (b^{2} - 1, b^{2} + 1) = 2$ và $4 ∣ b^{2} - 1$ nên $2^{n - 2} ∣ b^{2} - 1 = (b - 1) (b + 1)$ . Lại vì $g cd (b - 1, b + 1) = 2$ nên $b + ϵ = 2^{n - 3} . q (q \in Z^{+}, ϵ = \pm 1)$

Tới đây, ta có :

$8 b + 8 ϵ = 2^{n} . q > a + b^{3}$

Ta dễ chứng minh được bằng quy nạp rằng nếu $b \geq 4$ thì $b^{3} > 8 b + 8$ . Do đó :

$a + b^{3} > 8 b + 8 + a > 8 b + 8 ϵ$

Ta gặp mâu thuẫn. Như vậy phải có $b \leq 3$ . Vì $b$ lẻ nên $b = 1$ hoặc $b = 3$ .

Khi $b = 1$ ta được $a + 1 = 2^{n}, a^{3} + 1 = 2^{m}$ . Khử $a$ ta được phương trình :

$(2^{n} - 1)^{3} + 1 = 2^{m} \Leftrightarrow 2^{3 n - m} - 3. 2^{2 n - m} + 3 = 2^{m - n}$

Từ đây ta suy ra $m = n$ , dẫn đến $a = 1$ , ta loại vì đang xét $a > b$ .

Khi $b = 3$ ta được $a + 27 = 2^{n}, a^{3} + 3 = 2^{m}$ . Khử $a$ ta được phương trình :

$(2^{n} - 27)^{3} + 3 = 2^{m} \Leftrightarrow 2^{3 n} - 81. 2^{2 n} + 2187. 2^{n} - 19680 = 2^{m}$

Nếu $n > 5$ thì :

$2^{3 n - 5} - 81. 2^{2 n - 5} + 2187. 2^{n - 5} - 615 = 2^{m - 5}$

Ta gặp mâu thuẫn. Do đó $n \leq 5$ . Mà $2^{n} = a + 27 > 16 \Rightarrow n > 4$ . Ta được $n = 5$ .

Ta được cặp $(a, b) = (5, 3)$ .

Đáp số của bài toán là $(a, b, c) = (1, 1, 2), (3, 5, 12), (5, 3, 12)$

Number Theory

Đề bài

Mô tả