Geometry

Bài toán (Balkan Mathematical Olympiad 2013)

Cho tam giác $ABC$. Đường tròn bàng tiếp góc $A$ tiếp xúc $AB,AC$ tại $P,Q$. Đường tròn bàng tiếp góc $B$ tiếp xúc $BA,BC$ tại $M,N$. Gọi $K,L$ theo thứ tự là hình chiếu của $C$ xuống $MN,PQ$. Chứng minh tứ giác $MKLP$ nội tiếp.

Lời giải :

Gọi $I$ là tâm nội tiếp tam giác $ABC$ và $O_a,O_b$ theo thứ tự là tâm bàng tiếp góc $A,B$ của tam giác $ABC$.

Dễ dàng tính được :

$$CL=CQ.sin\angle CQL=CQ.sin\frac{\pi -A}{2}=(p-b).cos\frac{A}{2}$$

Tương tự $CK=\left(p-a\right).cos\frac{B}{2}$.

Hơn nữa :

$$BI=\frac{p-b}{cos\frac{B}{2}},AI=\frac{p-c}{cos\frac{A}{2}}$$

Từ đó ta được :

$$\frac{CL}{CK}=\frac{BI}{AI}$$

Chú ý các cặp $(BI,CK),(AI,CL)$ song song nên ta được $\angle AIB=\angle LCK$.

Từ đó suy ra hai tam giác $AIB,LCK$ đồng dạng. Kéo theo :

$\angle IAB$$=\angle CLK$$\Rightarrow \angle BMN$$=\angle MLQ(\angle BMN$$=90^0-\angle IAB,\angle MLQ$$=90^0-\angle CLK)$

Ta được tứ giác $MKLP$ nội tiếp.