Geometry

Bài toán (Đề xuất Olympic Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ toán 10 THPT Chuyên Bắc Giang, tỉnh Bắc Giang 2013-2014)

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$ có hai đường chéo giao nhau tại $I$. $M,N$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các cặp đường tròn $AOB,COD$ và $BOC,AOD$. Chứng minh rằng bốn điểm $I,O,M,N$ cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải :

Ta có :

$\angle ANB$$=\angle ADO+\angle BCO$$=\frac{180^0-\angle AOD}{2}+\frac{180^0-\angle BOC}{2}$$=180^0-\angle ACD-\angle BAC$$=180^0-\angle ACD-\angle BDC$$=\angle DIC$$=\angle AIB$

Như vậy tứ giác $AINB$ nội tiếp. Tương tự ta có $DINC$ nội tiếp.

Khi đó ta có $AB,IN,DC$ đồng quy tại tâm đẳng phương $U$ của ba đường tròn $(AINB),(DINC),(O)$.

Cũng dễ thấy $AD,NO,BC$ đồng quy tại tâm đẳng phương $V$ của ba đường tròn $(AOD),(BOC),(O)$.

Theo định lí Brocard ta có $I$ là trực tâm tam giác $OUV$ suy ra $UN$ vuông góc $VO$ hay $IN$ vuông góc $NO$.

Từ đó được $\angle INO=90^0$. Tương tự $\angle IMO=90^0$. Do đó bốn điểm $I,O,M,N$ đồng viên.