Number Theory

Bài toán (Korea Final Round 2007)

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn :

$$1+4^x+4^y=z^2$$

Lời giải :

Không giảm tổng quát, ta giả sử $x\le y$.

Nếu $2x<y+1$ thì dễ dàng thấy :

$$(2^y{)}^2<z^2=1+4^x+4^y<(2^y+1{)}^2$$

Và đây là điều mâu thuẫn.

Nếu $2x=y+1$ ta được :

$$1+4^{(y+1)/2}+4^y=z^2\iff z=2^y+1$$

Ta được nghiệm $(x,y,z)=(t,2t-1,2^{2t-1}+1)$ với $t$ là số nguyên dương bất kì.

Nếu $2x>y+1$.

Phương trình đã cho có thể viết thành :

$$2^{2x}(4^{y-x}+1)=(z-1)(z+1)$$

Vì $z$ lẻ nên $\gcd (z-1,z+1)=2$, từ đó ta được $2^{2x-1}\mid z-1$ hoặc $2^{2x-1}\mid z+1$.

Nếu mà $2^{2x-1}\mid z-1$ ta đặt $z=2^{2x-1}.k+1(k\in {\mathbb{Z}}^{+})$. Thay vào phương trình ban đầu :

$1+4^x+4^y$$=(2^{2x-1}.k+1{)}^2$$\iff 4^x+4^y$$=4^{2x-1}{k}^2+4^{x}k$$\iff 1+4^{y-x}$$=4^{x-1}{k}^2+k$

Vì $2x>y+1$ nên ta có $y-x<x-1$, suy ra :

$$1+4^{y-x}<4^{x-1}{k}^2+k$$

Ta gặp mâu thuẫn.

Nếu mà $2^{2x-1}\mid z+1$. Ta đặt $z=2^{2x-1}k-1(k\in {\mathbb{Z}}^{+})$. Thay vào phương trình ban đầu :

$$1+4^x+4^y=(2^{2x-1}k-1{)}^2\iff 4^{y-x}+1=4^{x-1}{k}^2-k$$

Vì $2x>y+1$ nên $y-x<x-1$, suy ra :

$$4^{x-1}{k}^2-k<4^{x-1}+1\iff 4^{x-1}(k-1)<0\iff k=1$$

Được :

$$4^{y-x}+1=4^{x-1}-1\Rightarrow min\left\{x-1,y-x\right\}=1\Rightarrow y-x=1\Rightarrow x=y-1$$

Dễ thấy tiếp được điều vô lí.

Ta kết luận nghiệm :

$$(x,y,z)=(t,2t-1,2^{2t-1}+1),(2t-1,t,2^t+1)$$

Trong đó $t$ nguyên dương tùy ý.