Functional Equation

Bài toán (Đề xuất Olympic Duyên hải và Đồng bằng Bắc bộ toán 11 năm 2013-2014 THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x^{2015}+2014y)=f(2x+y)+f(3x+2013y)+x^{2015}-5x-2015,\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Lời giải :

Đặt $f(x)=g(x)+2015$ ta được :

$$g(x^{2015}+2014y)=g(2x+y)+g(3x+2013y)+x^{2015}-5x,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Trong $(1)$ ta lấy $y=3x-x^{2015}$ ta được :

$g(x^{2015}+2014(3x-x^{2015}))$$=g(2x+3x-x^{2015})+g(3x+2013(3x-x^{2015}))+x^{2015}-5x,\forall x\in \mathbb{R}$$\iff g(5x-x^{2015})$$=5x-x^{2015},\forall x\in \mathbb{R}$

Vì $5x-x^{2015}$ là một đa thức bậc lẻ nên nhận mọi giá trị trong $\mathbb{R}$, ta được $g(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$

Hàm cần tìm thỏa đề là :

$$f(x)=x+2015,\forall x\in \mathbb{R}$$