Geometry

Bài toán (Iran National Olympiad 3rd Round 2013)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Các đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $AH$ cắt $(O)$ tại $D$. Qua trung điểm $T$ của $AH$, kẻ đường thẳng song song với $EF$ cắt $AB,AC$ tại $X,Y$. Chứng minh $\angle XDE=\angle YDE$.

Lời giải :

Ta có :

$$\angle AXY=\angle AEF=\angle ACB=\angle ADB$$

Như vậy ta được bốn điểm $X,T,B,D$ đồng viên.

Chú ý do $T$ là trung điểm của cạnh huyền $AH$ trong tam giác vuông $AHE$ nên

$$\angle TEH=\angle AHE=\angle ACB=\angle AXY$$

Do vậy ta cũng được bốn điểm $X,T,E,B$ đồng viên.

Kéo theo năm điểm $X,T,B,D,E$ đồng viên. Suy ra :

$$\angle YTE=\angle XDE$$

Tương tự $\angle XTF=\angle YDF$

Hơn nữa lại có :

$$\angle YTE=\angle TEF=\angle TFE=\angle XTF(TE=TF=AH/2)$$

Suy ra hai góc $YDF,XDE$ bằng nhau. Từ đó dẫn đến :

$$\angle XDE=\angle YDF$$.