Geometry

Bài toán (Russia Sharygin Geometry Olympiad 2013)

Cho tam giác $ABC$, phân giác $AD$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $B,C$ xuống $AD$. Đường tròn đường kính $MN$ cắt $BC$ theo thứ tự tại $X,Y$. Chứng minh $\angle BAX=\angle CAY$.

Lời giải :

Bổ đề : (Định lý Steiner)

Cho tam giác $ABC$ và hai điểm $D,E$ trên cạnh $BC$. Khi đó $AD,AE$ đẳng giác trong góc $BAC$ khi và chỉ khi :

$$\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}.\frac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=\frac{A{B}^2}{A{C}^2}$$

Chứng minh bổ đề :

Gỉa sử $AD,AE$ đẳng giác trong góc $BAC$.

Ta có :

$\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}$$=\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}$$=\frac{AD.AB.sin\angle BAD}{AD.AC.sin\angle DAC}$$=\frac{AB}{AC}.\frac{sin\angle BAD}{sin\angle DAC}$

Tương tự $\frac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=\frac{AB}{AC}.\frac{sin\angle BAE}{sin\angle CAE}$

Mà lại có $\angle BAD=\angle CAE,\angle BAE=\angle DAC$ nên có :

$$\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}.\frac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=\frac{A{B}^2}{A{C}^2}$$

Bây giờ giả sử $AD,AE$ thỏa mãn hệ thức đề bài. Vẽ đường đẳng giác $A{D}^{\prime }$ với $AE$, tương tự trên ta được :

$$\frac{\overline{B{D}^{\prime }}}{\overline{D^{\prime }C}}.\frac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=\frac{A{B}^2}{A{C}^2}$$

Mà $\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}.\frac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=\frac{A{B}^2}{A{C}^2}$ nên suy ra :

$$\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}=\frac{\overline{B{D}^{\prime }}}{\overline{D^{\prime }C}}\Rightarrow D\equiv D^{\prime }$$

Định lí Steiner về tiêu chuẩn đẳng giác được chứng minh.

Trở lại bài toán :

Chú ý $BM$ là tiếp tuyến của $(XY)$ :

$$B{M}^2=\overline{BX}.\overline{BY}$$

Tương tự $N{C}^2=\overline{CY}.\overline{CX}$

Suy ra :

$$\frac{B{M}^2}{N{C}^2}=\frac{\overline{BX}}{\overline{XC}}.\frac{\overline{BY}}{\overline{YC}}$$

Cũng dễ thấy hai tam giác vuông $ABM,ACN$ đồng dạng nên $\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{CN}$. Từ đó có ngay :

$$\frac{A{B}^2}{A{C}^2}=\frac{\overline{BX}}{\overline{XC}}.\frac{\overline{BY}}{\overline{YC}}$$

Áp đụng định lí Steiner, ta được $AX,AY$ đẳng giác trong góc $BAC$ tức $\angle BAX=\angle CAY$.