Geometry

Bài toán (Balkan Mathematical Olympiad 2014)

Cho hình thang $ABCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$. Hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại $E$. Đường tròn $(B,BE)$ cắt $(ABCD)$ tại $K,L$ sao cho $K$ nằm trên nửa đường tròn chứa $C$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc $BD$ cắt $CD$ tại $M$. Chứng minh $KM$ vuông góc $DL$.

Lời giải :

Gọi $X$ là giao của $ME$ và $CB$. Tam giác $XEB$ vuông tại $E$ và có đường cao $EC$ nên $X{E}^2=XC.XB$, hay $P_{X/(B)}=P_{X/(ABCD)}$. Như vậy $X$ thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn, tức $X$ thuộc $KL$.

Chú ý vì $ME$ song song $AD$ nên $\angle XCM=\angle DAB=\angle XMC$. Dễ thấy $XL$ vuông góc $AB$ nên $XL$ vuông góc $CD$. Suy ra $XL$ là trung trực của $MC$. Ta được $\angle CML=\angle MCL=\angle DKL$. Mà $\angle CML+\angle MLK=90^0$ nên $\angle DKL+\angle MLK=90^0$.

Như vậy có $LM$ vuông góc $DK$, lại có $CD$ vuông góc $KL$ nên $M$ là trực tâm tam giác $DKL$.

Ta được $KM$ vuông góc $DL$.