Geometry

Bài toán (Balkan Mathematical Olympiad 2011)

Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ không là hình thang với $F,G$ là trung điểm của $AB,CD$. Đường thẳng $l$ qua $G$ song song $AB$. $K,H$ theo thứ tự là hình chiếu của $E$ xuống $l,CD$ trong đó $E$ là giao của $AC,BD$. Chứng minh $HK$ vuông góc $EF$.

Lời giải :

Gọi $U,V$ theo thứ tự là giao của các cặp $(EF,CD),(EG,AB)$. $HK$ gặp $EF$ tại $X$. $EF$ gặp $l$ tại $Y$.

Dễ thấy hai tam giác $AEB,DEC$ đồng dạng nên

$$\frac{AB}{EB}=\frac{DC}{EC}\Rightarrow \frac{FB}{EB}=\frac{GC}{EC}(AB=2FB,DC=2GC)$$.

Từ đó có hai tam giác $FEB,GEC$ đồng dạng, suy ra $\angle FEB=\angle GEC$.

Ta có :

$$\angle VGU=\angle GEC+\angle DCA=\angle FEB+\angle ABD=\angle VFU$$

Hơn nữa có $\angle VFU=\angle EYH$ do là hai góc so le trong. Và có $EKHG$ là tứ giác nội tiếp nên $\angle VGU=\angle EHX$.

Như vậy ta thu được $\angle EYH=\angle EHX$. Kết hợp với việc $\angle EHY=90^0$ ta có ngay $\angle EXH=90^0$. Như vậy $HK$ vuông góc $EF$.