Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ cố định và $BC$ cố định, $A$ di chuyển trên $(O)$. Gọi $m$ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $AB$ qua $AC$, $n$ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $AC$ qua $AB$. Gọi $E,F$ theo thứ tự là hình chiếu của $C,B$ lên $m,n$. Chứng minh rằng đường thẳng $(d)$ qua $A$ vuông góc với $EF$ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải :

Gọi $M,N$ theo thứ tự là điểm đối xứng với $B,C$ qua $AC,AB$. Dễ thấy $M$ thuộc $m$ và $N$ thuộc $n$. Gọi $I,J$ theo thứ tự là trung điểm của $CN,BM$.

Chú ý các bộ điểm đồng viên $(F,I,B,N),(I,J,C,B),(J,E,M,C)$ nên có :

$$AF.AN=AI.AB=AJ.AC=AE.AM$$

Từ đây suy ra tứ giác $EFNM$ nội tiếp. Do đó đường thẳng $(d)$ qua $A$ vuông góc $EF$ sẽ đi qua tâm ngoại tiếp tam giác $AMN$.

Sử dụng bài toán này, ta được $(d)$ đi qua điểm $O^{\prime }$ đối xứng với $O$ qua $BC$, là một điểm cố định.