Inequality

Bài toán (Turkey Team Selection Test 2010)

Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$$\sqrt[4]{\frac{(a^2+b^2)(a^2-ab+b^2)}{2}}+\sqrt[4]{\frac{(b^2+c^2)(b^2-bc+c^2)}{2}}+\sqrt[4]{\frac{(c^2+a^2)(c^2-ca+a^2)}{2}}$$

$$\le \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2).\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)$$

Lời giải :

Theo AM-GM :

$\sqrt[4]{\frac{(a^2+b^2)(a^2-ab+b^2)}{2}}$$\le \sqrt{\frac{\frac{a^2+b^2}{2}+a^2-ab+b^2}{2}}$$=\sqrt{\frac{3a^2-2ab+3b^2}{4}}$

Lại sử dụng Cauchy-Schwarz :

$\sum _{cyc}\sqrt{\frac{3a^2-2ab+3^2}{4}}$$\le \sqrt{3.\sum _{cyc}\frac{3a^2-2ab+3b^2}{4}}$$=\sqrt{\frac{9(a^2+b^2+c^2)-3(ab+bc+ca)}{2}}$

Theo Cauchy-Schwarz :

$\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)$$\ge \frac{2}{3}.(a^2+b^2+c^2).\frac{9}{2(a+b+c)}$$=\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

Cần chứng minh :

$$\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}\ge \sqrt{\frac{9(a^2+b^2+c^2)-3(ab+bc+ca)}{2}}$$

Đặt $a+b+c=p,ab+bc+ca=q$. Chuẩn hóa $p=1$. Cần chứng minh :

$\frac{3(p^2-2q)}{p}$$\ge \sqrt{\frac{9(p^2-2q)-3q}{2}}$$\iff 3(1-2q)$$\ge \sqrt{\frac{9-21q}{2}}$$\iff 24q^2-17q+3$$\ge 0$

Điều này đúng với $q\le \frac{1}{3}(a+b+c{)}^2=\frac{1}{3}$