Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ với $BC$ cố định, $A$ di chuyển trên $(O)$. $E,F$ lần lượt đối xứng với $B,C$ qua $CA,AB$. Chứng minh rằng đường thẳng $(d)$ qua $A$ vuông góc với $EF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di chuyển.

Lời giải :

Gọi $N$ là tâm Euler của tam giác $ABC$ và $Y,Z$ là hình chiếu của $N$ trên $AB,AC$. $G$ là trọng tâm tam giác.

Theo bài toán này, ta được $(N,Y,F),(N,Z,E)$ là các bộ ba điểm thẳng hàng. Và cũng có :

$$\frac{NY}{NF}=\frac{NZ}{NE}=\frac{1}{4}$$

Từ đó suy ra $YZ$ song song $EF$. Vậy $(d)$ vuông góc $YZ$. Gọi $I$ là giao của $(d)$ và $YZ$.

Vì bốn điểm $N,Y,A,Z$ đồng viên nên :

$$\angle NAZ=\angle NYZ=90^0-\angle AYI=\angle IAY$$

Như vậy $AI,AN$ đẳng giác trong góc $BAC$. Theo bài toán này ta suy ra $AI$ đi qua tâm ngoại tiếp tam giác $BOC$, là một điểm cố định.

Vậy $(d)$ luôn đi qua một điểm cố định.