Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$. Một đường thẳng $(d)$ thay đổi nhưng song song $BC$ cắt $AB,AC$ theo thứ tự tại $M,N$. Gọi $I$ là giao của $BN,CM$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BIM,CIN$ cắt nhau tại điểm thứ hai là $P$. Chứng minh khi $(d)$ thay đổi, điểm $P$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Lời giải :

Qua $N$ kẻ đường thẳng song song $MC$ cắt $AI$ tại $G$. Chú ý :

$$\frac{AN}{AC}=\frac{AG}{AI}=\frac{AM}{AB}$$

Nên cũng suy ra $MG\parallel IN$. Từ đó dễ thấy tứ giác $GMIN$ là hình bình hành. Dẫn đến $AI$ đi qua trung điểm của $MN$.

Lại do $MN\parallel BC$ nên $AI$ là trung tuyến của tam giác $ABC$.

Chú ý các tứ giác $IMBP,INCP$ nội tiếp :

$$\angle PMB=\angle PIB=\angle NCP$$

Như vậy ta được tứ giác $AMPC$ nội tiếp. Kéo theo : $\angle PAC=\angle PMC=\angle PBI$

Khi đó dễ thấy hai tam giác $PBI$ và $PAC$ đồng dạng vì :

$$\angle PBI=\angle PAC,\angle IPB=\angle IMA=\angle APC$$

Dẫn đến :

$$\frac{AC}{IB}=\frac{PC}{IP}$$

Cũng dễ thấy :

$$\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=\frac{IN}{IB}\Rightarrow \frac{AN}{IN}=\frac{AC}{IB}$$

Từ hai điều trên ta thu được :

$$\frac{PC}{IP}=\frac{AN}{IN}$$

Kết hợp với $\angle ANI=\angle IPC$, ta suy ra được hai tam giác $AIN,CIP$ đồng dạng. Suy ra :

$$\angle IAC=\angle ICP=\angle PAB$$

Điều này chứng tỏ rằng $AI,AP$ đẳng giác trong góc $A$. Hơn nữa ta đã chứng minh được $AI$ là trung tuyến trong tam giác $ABC$ nên $AP$ là đường đối trung của tam giác $ABC$.

Vậy $P$ luôn thuộc đường đối trung của tam giác $ABC$, là một đường thẳng cố định.