Arithmetic Sequence

Bài toán (Vietnam Team Selection Test 2004)

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=630,x_2=102\\ x_{n+2}=x_{n+1}+x_n+2\sqrt{x_n{x}_{n+1}-2},\forall n\ge 1\end{array}$$

a) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên dương.

b) Chứng minh có vô số số nguyên dương $n$ sao cho $x_n$ có bốn chữ số tận cùng là $2003$.

b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $x_n$ có bốn chữ số tận cùng là $2004$.

Lời giải :

a) Biến đổi công thức ban đầu :

$(x_{n+2}-x_{n+1}-x_n{)}^2$$=4(x_n{x}_{n+1}-2)$$\iff x_{n+2}^2+x_{n+1}^2+x_n^2-2x_{n+2}{x}_{n+1}-2x_{n+1}{x}_n-2x_n{x}_{n+2}$$=-8(\ast )$

Thay $n$ bởi $n+1$ ta được :

$$x_{n+3}^2+x_{n+2}^2+x_{n+1}^2-2x_{n+3}{x}_{n+2}-2x_{n+2}{x}_{n+1}-2x_{n+1}{x}_{n+3}=-8(\ast \ast )$$

Trừ $(\ast \ast )$ cho $(\ast )$ vế theo vế :

$x_{n+3}^2-x_n^2-2x_{n+3}{x}_{n+2}+2x_{n+1}{x}_n-2x_{n+1}{x}_{n+3}+2x_n{x}_{n+2}$$=0$$\iff (x_{n+3}-x_n)(x_{n+3}+x_n-2x_{n+2}-2x_{n+1})$$=0$

Dễ thấy $(x_n)$ là một dãy tăng nên phải có :

$$x_{n+3}=2x_{n+2}+2x_{n+1}-x_n$$

Từ đây bằng quy nạp ta được mọi số hạng của dãy đều nguyên dương.

b) Ta gọi $r_n$ là số dư khi chia $x_n$ cho $10^4$ ứng với mỗi số nguyên dương $n$. Ta sẽ chứng minh dãy $(r_n)$ là dãy tuần hoàn.

Ta có :

$$r_{n+3}\equiv 2r_{n+2}+2r_{n+1}-r_n(mod10^4)$$

Xét dãy các bộ số :

$$(r_1,r_2,r_3),(r_2,r_3,r_4),...,(r_n,r_{n+1},r_{n+2}),...$$

Dãy trên có vô số bộ nhưng chỉ có hữu hạn bộ khác nhau đôi một vì $r_i\in \left\{0,1,2,...,10^4-1\right\}$

Vì thế theo nguyên lí Dirichlet, chắc chắn sẽ có hai bộ trùng nhau. Tức là tồn tại các số nguyên dương $m,k$ sao cho :

$$(r_m,r_{m+1},r_{m+2})=\left(r_{m+k},r_{m+k+1},r_{m+k+2}\right)$$

Ta có :

$r_{m-1}$$\equiv 2r_m+2r_{m+1}-r_{m+2}$$=2r_{m+k}+2r_{m+k+1}-r_{m+k+2}$$\equiv r_{m+k-1}(mod10^4)$

$$...$$

$$r_1\equiv 2r_2+2r_3-r_4\equiv 2r_{k+2}+2r_{k+3}-r_{k+4}\equiv r_{k+1}(mod10^4)$$

Tức là ta đã chứng minh được :

$$(r_1,r_2,r_3)=(r_{k+1},r_{k+2},r_{k+3})$$

Vậy dãy $(r_n)$ là dãy tuần hoàn chu kỳ $k$. Hơn nữa vì $x_4=2003$ nên $r_4=2003$. Do dãy $(r_n)$ tuần hoàn nên tồn tại vô hạn số hạng của dãy $(r_n)$ bằng $2003$. Điều này đồng nghĩa với việc tồn tại vô hạn số hạng của dãy $(x_n)$ tận cùng bằng $2003$.

c) Ta thấy $x_1=603\equiv 3(mod4)$ và $x_2=102\equiv 2(mod4),x_3=1201\equiv 1(mod4)$

Nên :

$$x_4=2x_3+2x_2-x_1\equiv 3(mod4)$$

$$x_5=2x_4+2x_3-x_2\equiv 2(mod4)$$

$$x_6=2x_5+2x_4-x_3\equiv 1(mod4)$$

Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được :

$$4\nmid x_n,\forall n\ge 1$$

Như vậy $x_n$ không thể tận cùng bằng $2004$. Bài toán hoàn tất.