Arithmetic Sequence

Bài toán (Austria 1997)

Cho dãy các số nguyên dương $(a_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{a}_0,a_1,a_2\in {\mathbb{Z}}^{+}\\ a_n=a_{n-1}^2+a_{n-2}^2+a_{n-3}^2,\forall n\ge 3\end{array}$$

Chứng minh rằng nếu $a_k=1997$ thì $k\le 3$.

Lời giải :

Trước hết ta giả sử phương trình $a^2+b^2+c^2=1997$ có nghiệm $(X,Y,Z)$ và $X=max\left\{X,Y,Z\right\}$. Khi đó dễ có $25\le X<45$.

Gỉa sử phản chứng rằng $k\ge 4$. Thì ta có :

$$a_{k-1}^2+a_{k-2}^2+a_{k-3}^2=a_k=1997$$

Sử dụng nhận xét trên, ta có

$(a_{k-1},a_{k-2},a_{k-3})$ là một hoán vị của $(X,Y,Z)$.

Chú ý vì $a_{k-1}=a_{k-2}^2+a_{k-3}^2+a_{k-4}^2$ nên $a_{k-1}=max\left\{a_{k-1},a_{k-2},a_{k-3}\right\}$. Suy ra $a_{k-1}=X$.

Và ta suy ra :

$$X=a_{k-1}=a_{k-2}^2+a_{k-3}^2+a_{k-4}^2=Y^2+Z^2+a_{k-4}^2$$.

Và điều này mâu thuẫn vì $Y^2+Z^2+a_{k-4}^2=1997-X^2+a_{k-4}^2\ge 1997-25^2+a_{k-4}^2>45>X$