Geometry

Bài toán (Vietnam Mathematical Olympiad 2007)

Cho hình thang $ABCD$ nội tiếp $(O)$ có đáy lớn $BC$. $P$ là một điểm thuộc đường thẳng $BC$ sao cho $PA$ không tiếp xúc với $(O)$. Đường tròn đường kính $DP$ cắt $(O)$ tại $E$ khác $D$. $PA$ cắt $(O)$ tại $N$. $DE$ giao $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng khi $P$ thay đổi thì $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải :

Gọi giao của đường tròn đường kính $DP$ với $BC$ là $K$. Giao của $DK$ với $(O)$ là $I$. Dễ thấy $DI\perp BC$.

Ta sẽ chứng minh $NI,BC,DE$ đồng quy. Gỉa sử $NI$ cắt $BC$ tại $M^{\prime }$.Ta có :

$$\angle INP=\angle IKP=90^0$$

Nên bốn điểm $N,I,K,P$ đồng viên. Suy ra :

 $$M^{\prime }N.M^{\prime }I=M^{\prime }K.M^{\prime }P\Rightarrow P_{M^{\prime }/(O)}=P_{M^{\prime }/(DP)}$$

Do đó $M^{\prime }$ thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn, tức $M^{\prime }$ thuộc $DE$ hay $M^{\prime }$ trùng $M$.

Như vậy ta có ngay $MN$ luôn đi qua điểm $I$ cố định.