Bài toán : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với trực tâm $H$, trọng tâm $G$ và tâm Euler $N$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BC$. Chứng minh rằng đường thẳng $GD$ luôn đi qua chân vuông vuông góc hạ từ $N$ xuống $BC$. Lời giải : Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $J$ là chân đường cao hạ từ $A$. Gọi $X$ là giao điểm của $GD$ và $BC$. Ta có : \[2NX=HJ+OM=HJ+\dfrac{1}{2}AH=\dfrac{2HJ+AH}{2}=\dfrac{AJ+HJ}{2}=\dfrac{JD+HJ}{2}=\dfrac{HD}{2}\Rightarrow NX=\dfrac{1}{4}HD\] Hơn nữa lại có : \[\dfrac{GN}{GH}=\dfrac{ON-OG}{GH}=\dfrac{1/2.OH-1/3.OH}{2/3.OH}=\dfrac{1}{4}\] Từ đó suy ra $NX$ song song $AD$, lại có thêm $AD$ vuông góc $BC$ nên suy ra $NX$ vuông góc $BC$. Ta được điều phải chứng minh.

Geometry

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán : Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với trực tâm $H$ , trọng tâm $G$ và tâm Euler $N$ . Gọi $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $B C$ . Chứng minh rằng đường thẳng $G D$ luôn đi qua chân vuông vuông góc hạ từ $N$ xuống $B C$ .

Lời giải :

Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ và $J$ là chân đường cao hạ từ $A$ .

Gọi $X$ là giao điểm của $G D$ và $B C$ . Ta có :

$2 N X = H J + O M = H J + \frac{1}{2} A H = \frac{2 H J + A H}{2} = \frac{A J + H J}{2} = \frac{J D + H J}{2} = \frac{H D}{2} \Rightarrow N X = \frac{1}{4} H D$

Hơn nữa lại có :

$\frac{GN}{G H} = \frac{O N - O G}{G H} = \frac{1/2. O H - 1/3. O H}{2/3. O H} = \frac{1}{4}$

Từ đó suy ra $N X$ song song $A D$ , lại có thêm $A D$ vuông góc $B C$ nên suy ra $N X$ vuông góc $B C$ .

Ta được điều phải chứng minh.

Mô tả

Bài toán : Cho tam giác nội tiếp đường tròn với trực tâm , trọng tâm và tâm Euler . Gọi là điểm đối xứng của qua . Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua chân vuông vuông góc hạ từ xuống . Lời giải : Gọi là trung điểm của và là chân […]

Hình học phẳng

Nguồn: julielltv