Arithmetic Sequence

Bài toán :  Xét dãy số $(u_n)$ : $u_n=\lfloor n\sqrt{2}\rfloor ,\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Chứng minh rằng dãy số đã cho có vô số số hạng là một số chính phương.

Lời giải :

Nhận xét rằng luôn tồn tại hai dãy số nguyên dương $(A_n),(B_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}(1+\sqrt{2}{)}^n=A_n+B_n\sqrt{2}\\ (1-\sqrt{2}{)}^n=A_n-B_n\sqrt{2}\end{array}$$

Khi ấy :

$1$$=(1+\sqrt{2}{)}^n(1-\sqrt{2}{)}^n$$=(A_n+B_n\sqrt{2})(A_n-B_n\sqrt{2})$$=A_n^2-2B_n^2$$\Rightarrow A_n^4+A_n^2$$=2(A_n{B}_n{)}^2$

Hơn nữa ta có nhận xét sau :

$(A_n^2{)}^2$$<A_n^4+A_n^2$$<(A_n^2+1{)}^2$$\Rightarrow A_n^2$$<\sqrt{A_n^4+A_n^2}$$<A_n^2+1$$\Rightarrow \lfloor A_n{B}_n\sqrt{2}\rfloor$$=\lfloor \sqrt{A_n^4+A_n^2}\rfloor$$=A_n^2$

Vậy nếu ta chọn $x_n=A_n{B}_n$ thì ta có $(x_n)$ là một dãy dương và dãy tăng thực sự, tức $(x_n)$ nhận vô số giá trị nguyên dương. Khi đó ta có :

$$u_{x_n}=A_n^2,\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$$

Ta có điều phải chứng minh.